この問題は、複数の組み合わせの問題です。具体的には、 (16) 10円, 50円, 100円の硬貨を使って250円を支払う方法 (17) (1) 540の約数の個数とその総和 (2) 8人が輪を作る方法 (3) 1から7の数字から5個を選んで作る5桁の整数の総数 (4) 0, 1, 2, 3, 4から3個を選んで作る3桁の偶数の個数 (5) 大人3人、子供2人が並ぶとき、子供が隣り合わない並び方 (6) 300から800の間の各桁が異なる奇数の個数 (18) A, B, C, D, Eの順列に関する問題 (1) DBEACは何番目の文字列か (2) 63番目の文字列は何か (19) 図形を一筆書きする方法の数 を求めるものです。

1. 問題の内容

この問題は、複数の組み合わせの問題です。具体的には、

(16) 10円, 50円, 100円の硬貨を使って250円を支払う方法

(17)

(1) 540の約数の個数とその総和

(2) 8人が輪を作る方法

(3) 1から7の数字から5個を選んで作る5桁の整数の総数

(4) 0, 1, 2, 3, 4から3個を選んで作る3桁の偶数の個数

(5) 大人3人、子供2人が並ぶとき、子供が隣り合わない並び方

(6) 300から800の間の各桁が異なる奇数の個数

(18) A, B, C, D, Eの順列に関する問題

(1) DBEACは何番目の文字列か

(2) 63番目の文字列は何か

(19) 図形を一筆書きする方法の数

を求めるものです。

2. 解き方の手順

(16) 250円の支払い方法

100円硬貨の枚数で場合分けします。

* 100円硬貨0枚のとき: 50円硬貨の枚数は0枚から5枚まで。$250 = 50n + 10m$ なので、50円硬貨の枚数を$n$、10円硬貨の枚数を$m$とすると、$n=0,1,2,3,4,5$ であり、$m$は$m = (250 - 50n) / 10 = 25 - 5n$ で求められ、これは常に整数で非負なので、$n$の各値に対して$m$が一意に決まり、50円硬貨の枚数が6通りとなります。

* 100円硬貨1枚のとき: $250 - 100 = 150 = 50n + 10m$ なので、$n=0,1,2,3$ であり、$m = (150 - 50n) / 10 = 15 - 5n$ で求められ、これは常に整数で非負なので、$n$の各値に対して$m$が一意に決まり、4通りとなります。

* 100円硬貨2枚のとき: $250 - 200 = 50 = 50n + 10m$ なので、$n=0,1$ であり、$m = (50 - 50n) / 10 = 5 - 5n$ で求められ、これは常に整数で非負なので、$n$の各値に対して$m$が一意に決まり、2通りとなります。

したがって、合計で $6 + 4 + 2 = 12$ 通りです。

(17)

(1) 540の約数の個数とその総和

まず、540を素因数分解します。$540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1$。

約数の個数は $(2+1)(3+1)(1+1) = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ 個。

約数の総和は $(1 + 2 + 2^2)(1 + 3 + 3^2 + 3^3)(1 + 5) = (1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9 + 27)(1 + 5) = 7 \cdot 40 \cdot 6 = 1680$。

(2) 8人が輪を作る方法

円順列の考え方を使います。8人が円形に並ぶ方法は $(8-1)! = 7! = 5040$ 通り。

(3) 1から7の数字から5個を選んで作る5桁の整数の総数

まず、7個の数字から5個を選ぶ組み合わせは $_7C_5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ 通り。

次に、選んだ5個の数字を並べる順列は $5! = 120$ 通り。

したがって、5桁の整数の総数は $21 \times 120 = 2520$ 個。

(4) 0, 1, 2, 3, 4から3個を選んで作る3桁の偶数の個数

百の位は0以外の数字から選ぶ必要があります。

一の位が偶数である必要があります。

場合分けが必要です。

* 一の位が0の場合: 百の位は1,2,3,4の4通り、十の位は残りの3通り。$4\times3 = 12$通り

* 一の位が2または4の場合: 百の位は0,2,4以外から選ぶ必要があります。百の位は1,3の2通り、十の位は残りの3通り。$2\times2\times3 = 12$通り

よって合計$12+12 = 24$通り。

(5) 大人3人、子供2人が並ぶとき、子供が隣り合わない並び方

まず、大人3人を並べます。その並べ方は $3! = 6$ 通り。

次に、大人3人の間にできる4つの隙間から2つを選んで子供を並べます。

隙間の選び方は $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り。

したがって、子供が隣り合わない並び方は $6 \times 12 = 72$ 通り。

(6) 300から800の間の各桁が異なる奇数の個数

300から800の間なので、百の位は3, 4, 5, 6, 7のいずれかです。

一の位は奇数でなければなりません。

* 百の位が3, 5, 7の場合: 一の位は残り4つの奇数から1つ選ぶことができます。十の位は残りの8個から1つ選ぶことができます。$3 \times 4 \times 8 = 96$

* 百の位が4, 6の場合: 一の位は1, 3, 5, 7, 9から1つ選ぶことができます。十の位は残りの8個から1つ選ぶことができます。$2 \times 5 \times 8 = 80$

よって、$96 + 80 = 176$個。

(18) A, B, C, D, Eの順列に関する問題

(1) DBEACは何番目の文字列か

Aから始まる順列は $4! = 24$ 個。

Bから始まる順列は $4! = 24$ 個。

Cから始まる順列は $4! = 24$ 個。

Dから始まる順列で、DAから始まる順列は $3! = 6$ 個。

DBから始まる順列で、DBAから始まる順列は $2! = 2$ 個。

DBEACはDBEから始まる順列で最初なので1番目。

よって、$24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 = 81$ 番目。

(2) 63番目の文字列は何か

Aから始まる順列は $4! = 24$ 個。

Bから始まる順列は $4! = 24$ 個。

Cから始まる順列は $4! = 24$ 個。ここまでで72個なので、Cから始まる文字列です。

$63-24-24 = 15$なので、Cから始まる15番目の文字列を探します。

CABから始まる文字列は$2!=2$個

CACから始まる文字列は$2!=2$個

CADから始まる文字列は$2!=2$個

CAEから始まる文字列は$2!=2$個

CBAから始まる文字列は$2!=2$個

CBCから始まる文字列は$2!=2$個

CBDから始まる文字列は$2!=2$個

$2*7=14$

CBEから始まる文字列2つのうち1番目なので

CBEAD

(19) 図形を一筆書きする方法の数

グラフの奇点の数は4つ(A,B,C,D)です。よって一筆書きは出来ません。問題が間違っているか図が間違っています。図形を一筆書きできないため、Aを出発点として一筆でかく方法はないため0通りです。しかし、一筆書き出来るようにするとすると以下のようになります。

A,B,C,Dを順番に通る必要があります。

Aから始まりDで終わるものとDから始まりAで終わるものは同じなので2で割ります。

よって2通りです。

3. 最終的な答え

(16) 12通り

(17)

(1) 約数の個数: 24個, 約数の総和: 1680

(2) 5040通り

(3) 2520個

(4) 24個

(5) 72通り

(6) 176個

(18)

(1) 81番目

(2) CBEAD

(19) 2通り