0000から9999までの番号のうち、以下の条件を満たす番号の個数を求める問題です。 (1) 同じ数字を2個ずつ含むもの (2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの

1. 問題の内容

0000から9999までの番号のうち、以下の条件を満たす番号の個数を求める問題です。

(1) 同じ数字を2個ずつ含むもの

(2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの

2. 解き方の手順

(1) 同じ数字を2個ずつ含むもの

まず、同じ数字のペアの選び方を考えます。0～9の数字から2種類選ぶので、${}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$通りです。

次に、選んだ2種類の数字の並べ方を考えます。例えば、選んだ数字がa, bだとすると、並べ方はa, a, b, bです。この並べ方は、全4桁のうちaを置く場所を2箇所選べば自動的に決まるので、${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

よって、条件を満たす番号の個数は、$45 \times 6 = 270$個です。

(2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの

0～9の数字から4種類選び、小さい順に並べれば良いので、${}_{10}C_4$を計算します。

${}_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{10 \times 3 \times 7}{1} = 210$通りです。

したがって、条件を満たす番号の個数は210個です。

3. 最終的な答え

(1) 270個

(2) 210個