(1) 4種類の文字a, b, c, dから重複を許して7個選ぶ組み合わせの総数を求める問題です。 (2) $(a+b+c)^6$ の展開式における異なる項の数を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 4種類の文字a, b, c, dから重複を許して7個選ぶ組み合わせの総数を求める問題です。

(2) $(a+b+c)^6$ の展開式における異なる項の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) これは重複組み合わせの問題です。4種類のものから7個を選ぶ組み合わせの総数を求めます。

重複組み合わせの公式は ${}_nH_r = {}_{n+r-1}C_r$ です。この問題では $n = 4$、 $r = 7$ なので、

${}_4H_7 = {}_{4+7-1}C_7 = {}_{10}C_7$

${}_{10}C_7 = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) $(a+b+c)^6$ の展開式の各項は $a^p b^q c^r$ の形で表され、 $p + q + r = 6$ を満たす非負整数 $p, q, r$ の組の数を求める問題です。これは重複組み合わせの問題で、3種類のものから6個を選ぶ組み合わせの総数を求めます。

この問題では $n = 3$、 $r = 6$ なので、

${}_3H_6 = {}_{3+6-1}C_6 = {}_8C_6$

${}_8C_6 = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28$

3. 最終的な答え

(1) 120

(2) 28