9人の生徒（美術部、書道部、合唱部がそれぞれ3人ずつ）を2人、3人、4人の3つのグループに分ける問題です。 (1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ選び方は何通りか。 (2) グループの分け方は全部で何通りか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

9人の生徒（美術部、書道部、合唱部がそれぞれ3人ずつ）を2人、3人、4人の3つのグループに分ける問題です。

(1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ選び方は何通りか。

(2) グループの分け方は全部で何通りか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、美術部の3人から3人を選んで3人のグループを作る方法は ${}_3C_3 = 1$ 通りです。

次に、残りの6人から2人を選ぶ方法は ${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

よって、合計で $1 \times 15 = 15$ 通りです。

(2)

まず、9人から2人、次に残りの7人から3人、最後に残りの4人から4人を選ぶ方法を考えます。

これは ${}_9C_2 \times {}_7C_3 \times {}_4C_4 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 36 \times 35 \times 1 = 1260$ 通りです。

しかし、グループに区別がないので、これで終わりではありません。グループの人数が異なるため、これで答えになります。

次に、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方を考えます。

まず、美術部の3人をそれぞれ2人、3人、4人のグループに入れるので、3つのグループへの割り当て方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

2人のグループに入れる美術部員の残りの1人を選ぶ方法は1通り、3人のグループに入れる美術部員の残りの2人を選ぶ方法は1通り、4人のグループに入れる美術部員の残りの3人を選ぶ方法は1通りです。

次に、残りの6人から、2人のグループに入れる1人を選ぶ方法は ${}_6C_1 = 6$ 通り。

残りの5人から、3人のグループに入れる2人を選ぶ方法は ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

残りの3人は自動的に4人のグループに入ります。

よって、 $6 \times 6 \times 10 = 360$ 通りです。

(3)

2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考えます。

2人のグループに美術部員だけが入る場合、3人のグループと4人のグループには必ず2つ以上の部の部員が入ります。

まず、2人のグループに美術部員2人を選ぶ方法は ${}_3C_2 = 3$ 通りです。

残りの6人を3人と4人のグループに分ける方法は、${}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りです。

よって、$3 \times 20 = 60$ 通りです。

2人のグループに書道部員または合唱部員だけが入る場合も同様に60通りずつです。

したがって、$60 \times 3 = 180$ 通りです。

次に、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る場合を考えます。

まず、全ての分け方は(2)で求めたように1260通りです。

そして、2人のグループに同じ部員しかいない分け方は180通りです。

また、3人のグループに同じ部員しかいない場合ですが、この場合は不可能です。なぜなら、残りの6人は2人と4人のグループに分けることになるので、必ず2つ以上の部員が入ることになるからです。

4人のグループに同じ部員しかいない場合も同様に不可能です。

したがって、求める場合の数は $1260 - 180 = 1080$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 全部で1260通り、各グループに美術部員が1人ずつ入る分け方は360通り

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入る分け方は180通り、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る分け方は1080通り