SMILEの5文字を使って順列を作る。 (1) S, M, Lが奇数番目、I, Eが偶数番目に並ぶのは何通りあるか。 (2) アルファベット順に並べるとき、MILESは何番目になるか。

1. 問題の内容

SMILEの5文字を使って順列を作る。

(1) S, M, Lが奇数番目、I, Eが偶数番目に並ぶのは何通りあるか。

(2) アルファベット順に並べるとき、MILESは何番目になるか。

2. 解き方の手順

(1)

5つの文字の位置を以下のように考える。

_ _ _ _ _

奇数番目は1, 3, 5番目の3つ、偶数番目は2, 4番目の2つである。

S, M, Lが奇数番目に並ぶ並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

I, Eが偶数番目に並ぶ並び方は $2! = 2 \times 1 = 2$ 通り。

よって、S, M, Lが奇数番目に並び、I, Eが偶数番目に並ぶ並び方は $6 \times 2 = 12$ 通り。

(2)

アルファベット順に並べると、EILMSとなる。

MILESより前に並ぶものを数える。

先頭がEの場合、残りの4文字の並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

先頭がIの場合、残りの4文字の並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

先頭がLの場合、残りの4文字の並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

先頭がMの場合、2番目がEの場合、残りの3文字の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

先頭がMの場合、2番目がIの場合、残りの3文字の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

先頭がMの場合、2番目がLの場合、3番目がEの場合、残りの2文字はISなのでEISより前。

先頭がMの場合、2番目がLの場合、3番目がIの場合、残りの2文字はESなのでEISより前。

先頭がMの場合、2番目がLの場合、3番目がSの場合、残りの2文字はIEなのでILEより前。よってMLSIEはMILESより前。

したがって、MILESより前に並ぶ文字列の総数は $24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 1 = 85$。

よって、MILESは86番目となる。

3. 最終的な答え

(1) 12通り

(2) 85番目