2種類の記号〇と×を使って、以下の条件を満たす並べ方は何通りあるか。 (1) 合計6個の記号を並べる。 (2) 1個以上6個以下の記号を並べる。

1. 問題の内容

2種類の記号〇と×を使って、以下の条件を満たす並べ方は何通りあるか。

(1) 合計6個の記号を並べる。

(2) 1個以上6個以下の記号を並べる。

2. 解き方の手順

(1) 合計6個の記号を並べる場合

各記号の位置に〇または×の2つの選択肢がある。

したがって、6個の記号を並べる場合の数は、

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$ 通りである。

(2) 1個以上6個以下の記号を並べる場合

1個並べる場合、2個並べる場合、…、6個並べる場合の数をそれぞれ計算し、それらを足し合わせる。

* 1個並べる場合：$2^1 = 2$ 通り

* 2個並べる場合：$2^2 = 4$ 通り

* 3個並べる場合：$2^3 = 8$ 通り

* 4個並べる場合：$2^4 = 16$ 通り

* 5個並べる場合：$2^5 = 32$ 通り

* 6個並べる場合：$2^6 = 64$ 通り

したがって、合計の並べ方は

$2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126$ 通りである。

または、$\sum_{k=1}^6 2^k = \frac{2(2^6 - 1)}{2-1} = 2(64-1)= 2*63 = 126$

3. 最終的な答え

(1) 6個の記号を並べる場合の数：64通り

(2) 1個以上6個以下の記号を並べる場合の数：126通り