5枚の硬貨を同時に投げたとき、表の出た硬貨の枚数が5枚の場合は40点、4枚の場合は16点、3枚の場合は4点を得られる。それ以外の場合には得点は得られない。このときの得点の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

5枚の硬貨を同時に投げたとき、表の出た硬貨の枚数が5枚の場合は40点、4枚の場合は16点、3枚の場合は4点を得られる。それ以外の場合には得点は得られない。このときの得点の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、5枚の硬貨を投げたとき、表が出る枚数ごとの確率を求める。

硬貨を1枚投げたときに表が出る確率は $1/2$ である。

* 5枚とも表が出る確率：$_5C_5 (1/2)^5 (1/2)^0 = (1/2)^5 = 1/32$

* 4枚が表で1枚が裏である確率：$_5C_4 (1/2)^4 (1/2)^1 = 5(1/2)^5 = 5/32$

* 3枚が表で2枚が裏である確率：$_5C_3 (1/2)^3 (1/2)^2 = 10(1/2)^5 = 10/32$

次に、それぞれの得点と確率を掛け合わせる。

* 5枚とも表の場合：$40 \times \frac{1}{32} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$

* 4枚が表の場合：$16 \times \frac{5}{32} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2}$

* 3枚が表の場合：$4 \times \frac{10}{32} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$

最後に、これらの値をすべて足し合わせることで、得点の期待値を求める。

$E = \frac{5}{4} + \frac{5}{2} + \frac{5}{4}$

$E = \frac{5}{4} + \frac{10}{4} + \frac{5}{4}$

$E = \frac{20}{4}$

$E = 5$

3. 最終的な答え

得点の期待値は5点である。