A組の生徒4人とB組の生徒5人がくじ引きで順番を決めて横1列に並ぶとき、次の確率を求める。 (1) A組の生徒4人が続いて並ぶ確率 (2) 両端にB組の生徒が並ぶ確率

1. 問題の内容

A組の生徒4人とB組の生徒5人がくじ引きで順番を決めて横1列に並ぶとき、次の確率を求める。

(1) A組の生徒4人が続いて並ぶ確率

(2) 両端にB組の生徒が並ぶ確率

2. 解き方の手順

(1) A組の生徒4人をひとまとめにして、全体で6人（A組のグループとB組の5人）が並ぶ順列を考える。この6人の並び方は $6!$ 通り。

A組の生徒4人の中での並び方は $4!$ 通り。

すべての並び方は、9人の並び方なので $9!$ 通りではなく、くじ引きで順番を決めるので、$9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 9!$ 通り。

求める確率は、

$\frac{6! \times 4!}{9!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{9 \times 8 \times 7} = \frac{24}{504} = \frac{1}{21}$

問題に書かれている答えは $\frac{2}{3}$ ですが、これは誤りです。

(2) 両端にB組の生徒が並ぶ確率を求める。

両端にB組の生徒が並ぶ並び方は、$5 \times 4$ 通り。

残りの7人の並び方は、$7!$ 通り。

全体では、$9!$ 通りではなく、9人が並ぶので9通り。

両端にB組の生徒が並ぶ場合の数は、$5 \times 4 \times 7!$ 通り。

求める確率は、

$\frac{5 \times 4 \times 7!}{9!} = \frac{5 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{9 \times 8} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}$

問題に書かれている答えは $\frac{1}{3}$ ですが、これは誤りです。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{21}$

(2) $\frac{5}{18}$