表が出る確率が $1/4$ である歪んだコインを3枚同時に投げる。表が出た枚数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $Y = aX + b$ について、$E(Y) = 0$ かつ $\sigma(Y) = 1$ となるような定数 $a, b$ の値を定める。ただし、$a > 0$ とする。

1. 問題の内容

表が出る確率が $1/4$ である歪んだコインを3枚同時に投げる。表が出た枚数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $Y = aX + b$ について、$E(Y) = 0$ かつ $\sigma(Y) = 1$ となるような定数 $a, b$ の値を定める。ただし、$a > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求める。$X$ は二項分布 $B(3, 1/4)$ に従うため、$E(X) = np = 3 \times (1/4) = 3/4$、$V(X) = np(1-p) = 3 \times (1/4) \times (3/4) = 9/16$。標準偏差は $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{9/16} = 3/4$。

次に、$Y = aX + b$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を、$E(X)$ と $\sigma(X)$ を使って表す。

$E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b = a(3/4) + b$

$\sigma(Y) = \sigma(aX + b) = |a|\sigma(X) = a(3/4)$ (∵ $a>0$)

問題文より、$E(Y) = 0$ かつ $\sigma(Y) = 1$ であるから、以下の連立方程式が得られる。

$a(3/4) + b = 0$

$a(3/4) = 1$

2番目の式より、$a = 4/3$。

これを1番目の式に代入すると、$(4/3)(3/4) + b = 0$ より、$1 + b = 0$ なので、$b = -1$。

3. 最終的な答え

$a = \frac{4}{3}$, $b = -1$