柿、りんご、みかんの3種類の果物の中から7個の果物を買うとき、以下の2つの条件を満たす買い方はそれぞれ何通りあるか。 (1) 買わない果物があってもよい場合 (2) どの果物も少なくとも1個は買う場合

1. 問題の内容

柿、りんご、みかんの3種類の果物の中から7個の果物を買うとき、以下の2つの条件を満たす買い方はそれぞれ何通りあるか。

(1) 買わない果物があってもよい場合

(2) どの果物も少なくとも1個は買う場合

2. 解き方の手順

(1) 買わない果物があってもよい場合：これは重複組合せの問題です。

3種類の果物から7個を選ぶ重複組合せの数を求めます。

$n$種類のものから$k$個を選ぶ重複組合せの数は、$_{n+k-1}C_k$ で計算できます。

この問題では、$n = 3$（柿、りんご、みかんの3種類）と $k = 7$（7個の果物を選ぶ）なので、求める場合の数は、 $_{3+7-1}C_7 = _{9}C_7$ となります。

$_{9}C_7 = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通りです。

(2) どの果物も少なくとも1個は買う場合：まず、3種類の果物（柿、りんご、みかん）をそれぞれ1個ずつ買います。

これで合計3個の果物を買ったことになります。

残りの4個の果物を3種類の中から選ぶことになります。

これは重複組合せの問題で、$n = 3$（柿、りんご、みかんの3種類）と $k = 4$（残りの4個の果物を選ぶ）なので、求める場合の数は、 $_{3+4-1}C_4 = _{6}C_4$ となります。

$_{6}C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 買わない果物があってもよい場合：36通り

(2) どの果物も少なくとも1個は買う場合：15通り