表が出る確率が $\frac{1}{4}$ である歪んだコインを3枚同時に投げ、表が出た枚数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $Y = aX + b$ について、$E(Y) = 0$ かつ $\sigma(Y) = 1$ となるように定数 $a$ と $b$ の値を求める。ただし、$a > 0$ とする。ここで、$\sigma(Y)$はYの標準偏差を表す。

1. 問題の内容

表が出る確率が $\frac{1}{4}$ である歪んだコインを3枚同時に投げ、表が出た枚数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $Y = aX + b$ について、$E(Y) = 0$ かつ $\sigma(Y) = 1$ となるように定数 $a$ と $b$ の値を求める。ただし、$a > 0$ とする。ここで、$\sigma(Y)$はYの標準偏差を表す。

2. 解き方の手順

まず、$X$ が従う確率分布を考える。$X$ は二項分布 $B(3, \frac{1}{4})$ に従う。

したがって、$X$ の確率質量関数は、

$P(X=k) = \binom{3}{k} (\frac{1}{4})^k (\frac{3}{4})^{3-k}$ ($k=0,1,2,3$)

である。

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求める。

$E(X) = np = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$V(X) = np(1-p) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

標準偏差は $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

$Y = aX + b$ より、

$E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b = a\frac{3}{4} + b$

$V(Y) = V(aX + b) = a^2 V(X) = a^2 \frac{9}{16}$

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{a^2 \frac{9}{16}} = |a| \frac{3}{4}$

条件より、$E(Y) = 0$ かつ $\sigma(Y) = 1$ であるから、

$a\frac{3}{4} + b = 0$

$|a| \frac{3}{4} = 1$

$a > 0$ より、$a \frac{3}{4} = 1$。したがって、$a = \frac{4}{3}$。

$a\frac{3}{4} + b = 0$ に $a = \frac{4}{3}$ を代入すると、

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} + b = 0$

$1 + b = 0$

$b = -1$

3. 最終的な答え

$a = \frac{4}{3}$

$b = -1$