大人6人、子ども4人の合計10人の中から、抽選で5人を選ぶ。 (1)選ばれた5人が大人3人、子ども2人である確率を求めよ。 (2)選ばれた5人のうち、子どもが1人だけである確率を求めよ。

1. 問題の内容

大人6人、子ども4人の合計10人の中から、抽選で5人を選ぶ。

(1)選ばれた5人が大人3人、子ども2人である確率を求めよ。

(2)選ばれた5人のうち、子どもが1人だけである確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、10人から5人を選ぶ場合の総数を求める。これは組み合わせで表され、$_{10}C_5$となる。

$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

次に、大人6人から3人を選ぶ組み合わせは、$_6C_3$となる。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

また、子ども4人から2人を選ぶ組み合わせは、$_4C_2$となる。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、大人3人、子ども2人を選ぶ組み合わせは、$_6C_3 \times _4C_2 = 20 \times 6 = 120$

求める確率は、$P(大人3人、子ども2人) = \frac{大人3人、子ども2人を選ぶ組み合わせ}{10人から5人を選ぶ組み合わせ} = \frac{120}{252} = \frac{10}{21}$

(2)

子どもが1人だけ選ばれるとき、大人は4人選ばれる必要がある。

大人6人から4人を選ぶ組み合わせは、$_6C_4$となる。

$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

子ども4人から1人を選ぶ組み合わせは、$_4C_1$となる。

$_4C_1 = \frac{4!}{1!3!} = 4$

したがって、大人4人、子ども1人を選ぶ組み合わせは、$_6C_4 \times _4C_1 = 15 \times 4 = 60$

求める確率は、$P(子ども1人) = \frac{大人4人、子ども1人を選ぶ組み合わせ}{10人から5人を選ぶ組み合わせ} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{21}$

(2) $\frac{5}{21}$