ある蝶の体長の母集団が平均80mmの正規母集団であることがわかっている。3個体の体長が76mm、85mm、83mmだったとき、母分散$\sigma^2$ の95%信頼区間を求める。まず、統計量Vを計算し、Vが従うカイ二乗分布に基づいて、$\sigma^2$の95%信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある蝶の体長の母集団が平均80mmの正規母集団であることがわかっている。3個体の体長が76mm、85mm、83mmだったとき、母分散$\sigma^2$ の95%信頼区間を求める。まず、統計量Vを計算し、Vが従うカイ二乗分布に基づいて、$\sigma^2$の95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 統計量Vの計算

母平均$\mu$が既知の場合、統計量Vは以下のように計算される。

$V = \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \mu)^2}{\sigma^2}$

ここで、$x_i$は各個体の体長、$\mu$は母平均、$\sigma^2$は母分散、nはサンプルサイズである。

与えられたデータでは、$x_1 = 76$, $x_2 = 85$, $x_3 = 83$, $\mu = 80$, $n = 3$である。

したがって、

$V = \frac{(76-80)^2 + (85-80)^2 + (83-80)^2}{\sigma^2} = \frac{16 + 25 + 9}{\sigma^2} = \frac{50}{\sigma^2}$

(2) Vが従うカイ二乗分布

母平均が既知の場合、Vは自由度n=3のカイ二乗分布に従う。

(3) 母分散の95%信頼区間

Vが95%予言的中区間に入るための条件は、

$\chi^2_{0.025, 3} \le V \le \chi^2_{0.975, 3}$

ここで、$\chi^2_{\alpha, df}$は自由度dfのカイ二乗分布における$\alpha$パーセンタイルである。

自由度3のカイ二乗分布において、$\chi^2_{0.025, 3} = 0.216$, $\chi^2_{0.975, 3} = 7.815$である。

したがって、

$0.216 \le \frac{50}{\sigma^2} \le 7.815$

この不等式を$\sigma^2$について解くと、

$\frac{50}{7.815} \le \sigma^2 \le \frac{50}{0.216}$

$6.40 \le \sigma^2 \le 231.48$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{50}{\sigma^2}$

(2) Vは自由度3の$\chi^2$分布に従う。

$\chi^2_{0.025, 3} \le \frac{50}{\sigma^2} \le \chi^2_{0.975, 3}$を$\sigma^2$について解いた形

$\frac{50}{7.815} \le \sigma^2 \le \frac{50}{0.216}$ が母分散$\sigma^2$の値の95%信頼区間。

結論: $6.40 \le \sigma^2 \le 231.48$ となる。