あるセールスマンが家を訪問すると $\frac{1}{4}$ の確率で帽子を忘れてくる。セールスマンが帽子をかぶってA, B, Cの3つの家をこの順に訪問して帰ってきたところ、帽子を3つの家のどこかに忘れてきたことに気がついた。このとき、セールスマンがAの家に帽子を忘れた確率を求める。

1. 問題の内容

あるセールスマンが家を訪問すると $\frac{1}{4}$ の確率で帽子を忘れてくる。セールスマンが帽子をかぶってA, B, Cの3つの家をこの順に訪問して帰ってきたところ、帽子を3つの家のどこかに忘れてきたことに気がついた。このとき、セールスマンがAの家に帽子を忘れた確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、セールスマンが帽子を忘れる場所として、A, B, Cの3つの場合が考えられる。

* Aの家に忘れる場合: Aで帽子を忘れ、B, Cでは帽子を忘れない。

* Bの家に忘れる場合: Aで帽子を忘れず、Bで帽子を忘れ、Cでは帽子を忘れない。

* Cの家に忘れる場合: A, Bで帽子を忘れず、Cで帽子を忘れる。

それぞれの確率を計算する。セールスマンが家で帽子を忘れる確率が $\frac{1}{4}$ なので、帽子を忘れない確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ である。

* Aの家に忘れる確率:

$P(A) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$

* Bの家に忘れる確率:

$P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$

* Cの家に忘れる確率:

$P(C) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$

帽子を忘れたことがわかっているので、A, B, Cのいずれかの家に忘れたことになる。

帽子をいずれかの家に忘れる確率は、

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = \frac{9}{64} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} = \frac{27}{64}$

求める確率は、帽子を忘れたのがAの家であるという条件のもとでの確率、つまり条件付き確率 $P(A | A \cup B \cup C)$ を計算する。

$P(A | A \cup B \cup C) = \frac{P(A \cap (A \cup B \cup C))}{P(A \cup B \cup C)} = \frac{P(A)}{P(A \cup B \cup C)} = \frac{\frac{9}{64}}{\frac{27}{64}} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$