P, Q, R, S, Tの5人が身体測定を受けた。 - I: Pを含めてちょうど3人が同じ点数で、他の2人は点数が違う。 - II: PとQの平均とRとSの平均は等しい。 このとき、以下の推論のうち、必ず正しいといえるものの組み合わせを求める問題。 - ア: Pの得点はSよりも高い。 - イ: PとTの得点は等しい。 - ウ: PとRの得点は異なる。

1. 問題の内容

P, Q, R, S, Tの5人が身体測定を受けた。

- I: Pを含めてちょうど3人が同じ点数で、他の2人は点数が違う。

- II: PとQの平均とRとSの平均は等しい。

このとき、以下の推論のうち、必ず正しいといえるものの組み合わせを求める問題。

- ア: Pの得点はSよりも高い。

- イ: PとTの得点は等しい。

- ウ: PとRの得点は異なる。

2. 解き方の手順

Iから、P, Q, R, S, Tのうち3人が同じ点数であり、Pはその3人に含まれる。残りの2人はそれぞれ異なる点数である。

IIから、PとQの平均とRとSの平均が等しい。つまり、

$\frac{P+Q}{2} = \frac{R+S}{2}$

両辺に2をかけて、

$P+Q = R+S$

以下、ア、イ、ウの各推論を検討する。

ア: Pの得点はSよりも高い。

反例を挙げる。P = Q = R = 1とする。このとき、Pを含めて3人が同じ点数であるという条件を満たす。また、$P+Q = 1+1 = 2$ だから、$R+S = 2$ となるようにSを決めればよい。$R = 1$ なので、$S = 1$である。しかし、3人しか同じ点数にならないのでSは他の点数でなくてはならない。

そこで $S=2$とする。$P+Q = 3$なので、$\frac{P+Q}{2} = 1.5$。この時、P=1, Q=2とすると、R+S=3となるようにRとSを定める。R=1, S=2とすると、条件を満たす。しかし、3人しか同じ点数にならないので、RとSの少なくともどちらかはP,Qと異なる値をとる必要があり、反例となる。

もし、PとQが同じグループで、P=Qとする。このとき、$2P = R+S$。

もし、R,SがPと異なるグループの場合、P,Q,R,S,Tは互いに異なる値を取るので、条件を満たさない。

P=Q=Rの場合を考える。この時、$2P = P + S$より、$S=P$。これは３人が同じという条件と矛盾する。

P=Qの場合，$2P = R+S$

P=1, Q=1とする。$R+S = 2$。このときR=0, S=2とすると、P,Q,R,Sは異なる値を取る。残るTはP,Q,R,Sのいずれとも異なり、3人が同じになることはない。

以上の考察より、アは必ずしも成り立たない。

イ: PとTの得点は等しい。

Pを含めて3人が同じ点数なので、P=Q=Rとすると、TはSと同じ値を取る必要がある。しかし、P=Q=R=1でS=2の場合、T=1またはT=2のどちらかである。

したがって、PとTが等しいとは限らない。

ウ: PとRの得点は異なる。

もし、P,Q,Rが同じ点数であった場合、P=Rとなり、矛盾する。

P, Q, Rが同じ点数ではないとする。P+Q=R+Sより、PとRが同じ点数の場合、Q=Sとなる。この時、P,Q,Rが同じであるということはありえない。

P=Q=RのときS=Pなので、条件Iを満たさない。

よって、PとRの得点が異なるということは必ずしも言えない。

反例を挙げる：P=Q=R=1, S=1, T=

2. このときP=Rである。しかし、P, Q, Rの3人が同じ値を取るので条件を満たす。しかし、T=2とすると、３人同じという条件を満たすことはない。

したがって、PとRの得点は異なるとは言えない。

ア、イ、ウのいずれも必ず正しいとは言えない。

もう一度考え直す。PとQの平均=RとSの平均 から P+Q=R+S

Pを含めて3人が同じ点数。たとえば、P=Q=X の場合、2X=R+Sとなる。RとSは異なる点数である必要がある。

P=Qとすると、2P=R+S. TはRとSと異なる点数である。また、TはPとも異なる。

推論ア：Pの得点はSよりも高い。2P=R+S。P>Sとすると、2P>2S、P>S。必ずしも成立しない。

推論イ：PとTの得点は等しい。必ずしも成立しない。

推論ウ：PとRの得点は異なる。必ずしも成立しない。

したがって、全て必ず正しいとは言えない。問題文を読み間違えている可能性があるので、確認する。

P,Q,R,S,Tが身体測定を受けた。

I: Pを含めて3人が同じ点数。他の2人は異なる。

II: PとQの平均 = RとSの平均

ア: P > S

イ: P = T

ウ: P != R

もし、P=Qだった場合、2P=R+S。3人が同じ点数のグループがある。

答えがない。

3. 最終的な答え

なし