箱の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。この箱からカードを1枚取り出し、数字を記録して元に戻す、という試行を5回繰り返す。このとき、記録された5つの数字の最大値が2である確率と、5つの数字の和が8である確率をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

箱の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。この箱からカードを1枚取り出し、数字を記録して元に戻す、という試行を5回繰り返す。このとき、記録された5つの数字の最大値が2である確率と、5つの数字の和が8である確率をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 5つの数字の最大値が2である確率

5回の試行で取り出される数字がすべて1か2である必要がある。

1または2のカードを取り出す確率は $\frac{2}{3}$ である。

5回すべて1または2のカードを取り出す確率は $(\frac{2}{3})^5$ である。

この中には、5回すべて1である場合が含まれているので、それを取り除く必要がある。

5回すべて1である確率は $(\frac{1}{3})^5$ である。

よって、求める確率は $(\frac{2}{3})^5 - (\frac{1}{3})^5$ である。

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{32}{243}$

$(\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$

$\frac{32}{243} - \frac{1}{243} = \frac{31}{243}$

(2) 5つの数字の和が8である確率

5つの数字の和が8になる組み合わせを考える。取り出す数字は1, 2, 3のいずれかである。

* (1, 1, 1, 2, 3) の並べ替え

* (1, 1, 2, 2, 2) の並べ替え

(1, 1, 1, 2, 3) の並べ替えは、5つの数字のうち1が3つ、2が1つ、3が1つであるから、$\frac{5!}{3!1!1!} = \frac{120}{6} = 20$通り。

それぞれの確率は $(\frac{1}{3})^3 (\frac{1}{3}) (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$であるから、この組み合わせの確率は $\frac{20}{243}$である。

(1, 1, 2, 2, 2) の並べ替えは、5つの数字のうち1が2つ、2が3つであるから、$\frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$通り。

それぞれの確率は $(\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{3})^3 = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$であるから、この組み合わせの確率は $\frac{10}{243}$である。

したがって、求める確率は $\frac{20}{243} + \frac{10}{243} = \frac{30}{243} = \frac{10}{81}$である。

3. 最終的な答え

5つの数字の最大値が2である確率は $\frac{31}{243}$

5つの数字の和が8である確率は $\frac{10}{81}$