与えられた二次関数 $y = (x-1)^2 - 2$ について、以下の問いに答えます。 (i) 頂点の座標とグラフの向きを求めます。 (ii) 座標平面上にグラフを描きます。 (iii) グラフから、最小値をとる $x$ の値と最小値を求め、最大値が存在するかどうかを調べます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = (x-1)^2 - 2$ について、以下の問いに答えます。

(i) 頂点の座標とグラフの向きを求めます。

(ii) 座標平面上にグラフを描きます。

(iii) グラフから、最小値をとる $x$ の値と最小値を求め、最大値が存在するかどうかを調べます。

2. 解き方の手順

(i) 頂点の座標とグラフの向き

与えられた二次関数は平方完成された形 $y = a(x-p)^2 + q$ をしています。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ であり、$a > 0$ ならば下に凸、$a < 0$ ならば上に凸となります。

この問題では、$y = (x-1)^2 - 2$ であるので、$a=1, p=1, q=-2$ となります。

よって、頂点の座標は $(1, -2)$ であり、グラフは下に凸です。

(ii) グラフの描画

頂点の座標は $(1, -2)$ です。また、$x=0$ のとき、$y=(0-1)^2 - 2 = 1-2 = -1$ であるので、点 $(0, -1)$ を通ります。対称性から、点 $(2, -1)$ も通ります。これらの情報をもとに、グラフを描画します。

(iii) 最小値と最大値

グラフから、この関数は $x=1$ のとき最小値 $-2$ をとります。また、上に凸のグラフであるため、最大値はありません。yの値はどこまでも大きくなります。

3. 最終的な答え

(i) 頂点の座標は $(1, -2)$ で、グラフは下に凸の放物線である。

(ii) グラフは省略 (座標平面上に頂点が (1, -2) で、点 (0, -1) と (2, -1) を通る下に凸な放物線を描く)

(iii) $x=1$ のとき最小値 $-2$ をとる。また、最大値はなし。