与えられた2次関数 $y = -(x-2)^2 + 3$ について、以下の問いに答える問題です。 (i) 頂点の座標とグラフの形状を答える。 (ii) 与えられた座標平面にグラフを描く。 (iii) グラフから、関数の最大値と最小値を答える。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -(x-2)^2 + 3$ について、以下の問いに答える問題です。

(i) 頂点の座標とグラフの形状を答える。

(ii) 与えられた座標平面にグラフを描く。

(iii) グラフから、関数の最大値と最小値を答える。

2. 解き方の手順

(i) 頂点の座標を求める。

与えられた関数は平方完成された形 $y = a(x-p)^2 + q$ をしています。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ となります。

$y = -(x-2)^2 + 3$ の場合、$p=2$, $q=3$ なので、頂点の座標は $(2, 3)$ となります。

また、$x^2$の係数が負の数であるため、グラフは上に凸となります。

(ii) グラフを描く。

頂点の座標は(2,3)である。

x=0のとき、$y=-(0-2)^2+3=-4+3=-1$なので、点(0,-1)を通る。

x=4のとき、$y=-(4-2)^2+3=-4+3=-1$なので、点(4,-1)を通る。

これらの点を結ぶなめらかな上に凸のグラフを描きます。

(iii) 最大値と最小値を求める。

グラフは上に凸なので、頂点で最大値をとります。頂点の$y$座標が最大値なので、最大値は3です。

定義域が与えられていないので、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(i) 頂点の座標は $(2, 3)$ で、グラフは上に凸の放物線である。

(ii) グラフは座標平面に上に凸な放物線として描かれる。（グラフの図は省略）

(iii) $x = 2$ のとき最大値 $3$ をとる。また、最小値はなし。