ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の大きさが $|\vec{a}| = \sqrt{13}$, $|\vec{b}| = 4\sqrt{2}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{53}$ であるとき、以下の問題を解く。 (1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。 (2) $|\vec{a} + s\vec{b}|$ を最小にする $s$ の値と、そのときの最小値を求める。 (3) $\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{a} - \vec{b}$ と垂直になる $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の大きさが $|\vec{a}| = \sqrt{13}$, $|\vec{b}| = 4\sqrt{2}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{53}$ であるとき、以下の問題を解く。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

(2) $|\vec{a} + s\vec{b}|$ を最小にする $s$ の値と、そのときの最小値を求める。

(3) $\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{a} - \vec{b}$ と垂直になる $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

より、

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 53$, $|\vec{a}|^2 = 13$, $|\vec{b}|^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$ を代入すると、

$53 = 13 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 32$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 13 + 32 - 53 = -8$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

(2) $|\vec{a} + s\vec{b}|$ を最小にする $s$ の値と、そのときの最小値を求める。

$|\vec{a} + s\vec{b}|^2 = (\vec{a} + s\vec{b}) \cdot (\vec{a} + s\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2s\vec{a} \cdot \vec{b} + s^2|\vec{b}|^2$

$= 13 + 2s(-4) + s^2(32) = 32s^2 - 8s + 13$

$= 32(s^2 - \frac{1}{4}s) + 13 = 32(s - \frac{1}{8})^2 - 32(\frac{1}{64}) + 13$

$= 32(s - \frac{1}{8})^2 - \frac{1}{2} + 13 = 32(s - \frac{1}{8})^2 + \frac{25}{2}$

$|\vec{a} + s\vec{b}|^2$ は $s = \frac{1}{8}$ のとき最小値 $\frac{25}{2}$ をとる。

したがって、 $|\vec{a} + s\vec{b}|$ は $s = \frac{1}{8}$ のとき最小値 $\sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ をとる。

(3) $\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{a} - \vec{b}$ と垂直になる $t$ の値を求める。

$(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

$|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} + t\vec{b} \cdot \vec{a} - t|\vec{b}|^2 = 0$

$13 - (-4) + t(-4) - t(32) = 0$

$17 - 36t = 0$

$36t = 17$

$t = \frac{17}{36}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

(2) $s = \frac{1}{8}$ のとき最小値 $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ をとる。

(3) $t = \frac{17}{36}$