命題「$|2x-1| - x \geq 0$ ならば $x \geq 1$」の逆、裏、対偶を選択肢から選び、それぞれの真偽を答える問題です。

1. 問題の内容

命題「$|2x-1| - x \geq 0$ ならば $x \geq 1$」の逆、裏、対偶を選択肢から選び、それぞれの真偽を答える問題です。

2. 解き方の手順

与えられた命題を $p \rightarrow q$ と表すと、$p$ は $|2x-1| - x \geq 0$、$q$ は $x \geq 1$ となります。

* **逆:** $q \rightarrow p$ なので、「$x \geq 1$ ならば $|2x-1| - x \geq 0$」。選択肢の③がこれに該当するので、1の解答は③です。

* **裏:** $\neg p \rightarrow \neg q$ なので、「$|2x-1| - x < 0$ ならば $x < 1$」。選択肢の⑤がこれに該当するので、3の解答は⑤です。

* **対偶:** $\neg q \rightarrow \neg p$ なので、「$x < 1$ ならば $|2x-1| - x < 0$」。選択肢の②がこれに該当するので、5の解答は②です。

次に、それぞれの真偽を判断します。

* **逆($x \geq 1$ ならば $|2x-1| - x \geq 0$):**

$x \geq 1$ のとき、$2x - 1 \geq 1 > 0$ なので、$|2x-1| = 2x - 1$。

したがって、$|2x-1| - x = 2x - 1 - x = x - 1 \geq 0$。

よって、これは真なので、2の解答は①です。

* **裏($|2x-1| - x < 0$ ならば $x < 1$):**

$|2x-1| - x < 0$ は $|2x-1| < x$ と同値。

場合分けして考えます。

(i) $x \geq \frac{1}{2}$ のとき、$2x-1 < x$ より $x < 1$。このとき$\frac{1}{2} \leq x < 1$。

(ii) $x < \frac{1}{2}$ のとき、$-(2x-1) < x$ より $-2x+1 < x$。よって $1 < 3x$, つまり $x > \frac{1}{3}$。このとき$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$。

よって、$\frac{1}{3} < x < 1$。したがって、$|2x-1| - x < 0$ ならば $x < 1$は真なので、4の解答は①です。

* **対偶($x < 1$ ならば $|2x-1| - x < 0$):**

上記で示したように、対偶は裏の否定なので、裏が真であれば対偶も真となります。

対偶は真なので、6の解答は①です。

3. 最終的な答え

逆: ③、真偽: ①

裏: ⑤、真偽: ①

対偶: ②、真偽: ①