YOKOHAMAの8文字を1列に並べる時、OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を1列に並べる時、OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

YOKOHAMAの8文字のうち、Oは1個、Aは2個含まれています。

まず、8文字の並びにおいて偶数番目の位置は4つあります。

OとAを偶数番目に配置することを考えます。

（1）A2つとO1つを偶数番目に並べる方法

偶数番目の4つの位置から3つを選んで、A2つとO1つを並べます。

まず、4つの位置から3つを選ぶ方法は $\binom{4}{3} = 4$ 通りです。

選んだ3つの位置にA2つとO1つを並べる方法は $\frac{3!}{2!} = 3$ 通りです。

したがって、A2つとO1つを偶数番目に並べる方法は $4 \times 3 = 12$ 通りです。

（2）残りの5つの文字を奇数番目と残りの偶数番目に並べる方法

残りの文字はY, K, H, Mの4つと、A1つです。

これら5つの文字を、残りの5つの位置に並べる方法は $5!$ 通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

（3）全体の並べ方

A2つとO1つを偶数番目に並べる方法と、残りの5つの文字を並べる方法を掛け合わせます。

$12 \times 120 = 1440$

3. 最終的な答え

OとAが必ず偶数番目にあるものは1440通りあります。