問題45は、次の関数を対数微分法で微分する問題です。ただし、$x>0$とします。 (1) $y = (2x)^x$ (2) $y = x^{\sin x}$ 問題46は、関数 $f(x) = x^6 (x \geq 0)$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \sqrt[6]{x}$ であることを用いて、関数 $y = \sqrt[6]{x}$ を微分する問題です。

はい、承知いたしました。問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題45は、次の関数を対数微分法で微分する問題です。ただし、$x>0$とします。

(1) $y = (2x)^x$

(2) $y = x^{\sin x}$

問題46は、関数 $f(x) = x^6 (x \geq 0)$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \sqrt[6]{x}$ であることを用いて、関数 $y = \sqrt[6]{x}$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

問題45(1): $y = (2x)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln((2x)^x) = x \ln(2x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(2x) + x \cdot \frac{2}{2x} = \ln(2x) + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(2x) + 1) = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

問題45(2): $y = x^{\sin x}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln(x^{\sin x}) = \sin x \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}) = x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

問題46: $y = \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$

$y = \sqrt[6]{x} = f^{-1}(x)$ なので、$f(y) = y^6 = x$。

$f'(y) = 6y^5$ である。

$f'(y) = \frac{dx}{dy}$なので

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{6y^5} = \frac{1}{6(\sqrt[6]{x})^5} = \frac{1}{6x^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}}$.

または、直接微分しても良い。$y = x^{\frac{1}{6}}$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6x^{\frac{5}{6}}}$

3. 最終的な答え

問題45(1): $\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

問題45(2): $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

問題46: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6x^{\frac{5}{6}}}$