射的を4回行い、10点、20点、30点、50点の的に当たった。 1回目と2回目の点数の平均は3回目の点数と等しい。 1回目と3回目の点数の平均は4回目の点数と等しい。 このとき、2回目の点数を求める。

1. 問題の内容

射的を4回行い、10点、20点、30点、50点の的に当たった。

1回目と2回目の点数の平均は3回目の点数と等しい。

1回目と3回目の点数の平均は4回目の点数と等しい。

このとき、2回目の点数を求める。

2. 解き方の手順

1回目の点数を $a$、2回目の点数を $b$、3回目の点数を $c$、4回目の点数を $d$ とする。

問題文より、以下の式が成り立つ。

$\frac{a+b}{2} = c$

$\frac{a+c}{2} = d$

また、$a, b, c, d$ は 10, 20, 30, 50 のいずれかの値を取り、全て異なる。

最初の式を変形すると $a + b = 2c$。

2番目の式を変形すると $a + c = 2d$。

$a + b = 2c$ より、$a + b$ は偶数なので、$a$ と $b$ は偶数同士か奇数同士。

つまり、$a$ と $b$ は (10, 20)、(10, 30)、(20, 50)、(30, 50) のいずれかの組み合わせになる。

$a + c = 2d$ より、$a + c$ は偶数なので、$a$ と $c$ は偶数同士か奇数同士。

つまり、$a$ と $c$ は (10, 20)、(10, 30)、(20, 50)、(30, 50) のいずれかの組み合わせになる。

$a = 10$ の場合：

$a + b = 2c$ より、$10 + b = 2c$。$c$ は $a, b$ 以外の 20, 30, 50 のいずれか。

$a + c = 2d$ より、$10 + c = 2d$。$d$ は $a, c$ 以外の 20, 30, 50 のいずれか。

(i) $b = 20$ のとき、$10 + 20 = 2c$ より $c = 15$。これは不適。

(ii) $b = 30$ のとき、$10 + 30 = 2c$ より $c = 20$。

$10 + 20 = 2d$ より $d = 15$。これは不適。

(iii) $b = 50$ のとき、$10 + 50 = 2c$ より $c = 30$。

$10 + 30 = 2d$ より $d = 20$。

$a = 10, b = 50, c = 30, d = 20$ となり、条件を満たす。

$a = 20$ の場合：

$a + b = 2c$ より、$20 + b = 2c$。$c$ は $a, b$ 以外の 10, 30, 50 のいずれか。

$a + c = 2d$ より、$20 + c = 2d$。$d$ は $a, c$ 以外の 10, 30, 50 のいずれか。

(i) $b = 10$ のとき、$20 + 10 = 2c$ より $c = 15$。これは不適。

(ii) $b = 30$ のとき、$20 + 30 = 2c$ より $c = 25$。これは不適。

(iii) $b = 50$ のとき、$20 + 50 = 2c$ より $c = 35$。これは不適。

$a = 30$ の場合：

$a + b = 2c$ より、$30 + b = 2c$。$c$ は $a, b$ 以外の 10, 20, 50 のいずれか。

$a + c = 2d$ より、$30 + c = 2d$。$d$ は $a, c$ 以外の 10, 20, 50 のいずれか。

(i) $b = 10$ のとき、$30 + 10 = 2c$ より $c = 20$。

$30 + 20 = 2d$ より $d = 25$。これは不適。

(ii) $b = 50$ のとき、$30 + 50 = 2c$ より $c = 40$。これは不適。

$a = 50$ の場合：

$a + b = 2c$ より、$50 + b = 2c$。$c$ は $a, b$ 以外の 10, 20, 30 のいずれか。

$a + c = 2d$ より、$50 + c = 2d$。$d$ は $a, c$ 以外の 10, 20, 30 のいずれか。

(i) $b = 10$ のとき、$50 + 10 = 2c$ より $c = 30$。

$50 + 30 = 2d$ より $d = 40$。これは不適。

(ii) $b = 20$ のとき、$50 + 20 = 2c$ より $c = 35$。これは不適。

(iii) $b = 30$ のとき、$50 + 30 = 2c$ より $c = 40$。これは不適。

したがって、$a = 10, b = 50, c = 30, d = 20$ の場合のみ条件を満たす。

3. 最終的な答え

50 点