(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y=6$ のとき、$4x^2+3xy+y^2-6x-3y$ の最大値と最小値を求める問題。 (2) $x^2+y^2=4$ のとき、$x^2-2y^2+6x$ の最大値と最小値を求める問題。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y=6$ のとき、$4x^2+3xy+y^2-6x-3y$ の最大値と最小値を求める問題。

(2) $x^2+y^2=4$ のとき、$x^2-2y^2+6x$ の最大値と最小値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

$2x+y=6$ より、$y = 6-2x$ である。$x \geq 0$ および $y \geq 0$ より、$x \geq 0$ かつ $6-2x \geq 0$。したがって、$0 \leq x \leq 3$ である。

$f(x) = 4x^2 + 3x(6-2x) + (6-2x)^2 - 6x - 3(6-2x)$

$= 4x^2 + 18x - 6x^2 + 36 - 24x + 4x^2 - 6x - 18 + 6x$

$= 2x^2 - 6x + 18$

$= 2(x^2 - 3x) + 18$

$= 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{9}{4}) + 18$

$= 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{36}{2}$

$= 2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2}$

$0 \leq x \leq 3$ の範囲で、$f(x) = 2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2}$ の最大値と最小値を求める。

$x = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $\frac{27}{2}$

$x = 0$ のとき $f(0) = 18 = \frac{36}{2}$

$x = 3$ のとき $f(3) = 2(3 - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2} = 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2} = 2(\frac{9}{4}) + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} + \frac{27}{2} = \frac{36}{2} = 18$

したがって、最大値は $18$ 、最小値は $\frac{27}{2}$ である。

(2)

$x^2 + y^2 = 4$ より、$x = 2\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ と置ける。

$g(x, y) = x^2 - 2y^2 + 6x = (2\cos\theta)^2 - 2(2\sin\theta)^2 + 6(2\cos\theta)$

$= 4\cos^2\theta - 8\sin^2\theta + 12\cos\theta$

$= 4\cos^2\theta - 8(1-\cos^2\theta) + 12\cos\theta$

$= 4\cos^2\theta - 8 + 8\cos^2\theta + 12\cos\theta$

$= 12\cos^2\theta + 12\cos\theta - 8$

$t = \cos\theta$ とおくと、$-1 \leq t \leq 1$ である。

$h(t) = 12t^2 + 12t - 8 = 12(t^2 + t) - 8 = 12(t + \frac{1}{2})^2 - 12(\frac{1}{4}) - 8$

$= 12(t + \frac{1}{2})^2 - 3 - 8 = 12(t + \frac{1}{2})^2 - 11$

$-1 \leq t \leq 1$ の範囲で、$h(t)$ の最大値と最小値を求める。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき最小値 $-11$

$t = 1$ のとき $h(1) = 12 + 12 - 8 = 16$

$t = -1$ のとき $h(-1) = 12 - 12 - 8 = -8$

したがって、最大値は $16$ 、最小値は $-11$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $18$, 最小値: $\frac{27}{2}$

(2) 最大値: $16$, 最小値: $-11$