数列 $2, 3, 7, 16, 32, 57, 93, \dots$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $2, 3, 7, 16, 32, 57, 93, \dots$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を求めます。

元の数列を $\{a_n\}$ とすると、

$a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 7, a_4 = 16, a_5 = 32, a_6 = 57, a_7 = 93, \dots$

階差数列 $\{b_n\}$ は、

$b_n = a_{n+1} - a_n$ で与えられます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 7 - 3 = 4$

$b_3 = a_4 - a_3 = 16 - 7 = 9$

$b_4 = a_5 - a_4 = 32 - 16 = 16$

$b_5 = a_6 - a_5 = 57 - 32 = 25$

$b_6 = a_7 - a_6 = 93 - 57 = 36$

したがって、階差数列は $1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$ となり、これは平方数の数列 $\{n^2\}$ です。

したがって、$b_n = n^2$となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、階差数列を用いて次のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

ここで、$a_1 = 2$ であり、平方数の和の公式は、

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ です。

したがって、

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$a_n = 2 + \frac{(n-1)(2n^2 - n)}{6} = 2 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6}$

$a_n = \frac{12 + 2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 12}{6}$

3. 最終的な答え

数列の一般項は $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 12}{6}$ です。