与えられた行列 $A$ を行基本変形によって簡約化し、簡約化された行列の主成分がある列をすべて選び、行列 $A$ の階数（ランク）を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 7 & 5 \\ -3 & 6 & -7 & 3 \\ -1 & 2 & -4 & -4 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ を行基本変形によって簡約化し、簡約化された行列の主成分がある列をすべて選び、行列 $A$ の階数（ランク）を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 7 & 5 \\ -3 & 6 & -7 & 3 \\ -1 & 2 & -4 & -4 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行基本変形を行って簡約化された行列の主成分がある列を特定します。

まず、与えられた行列 $A$ を行基本変形により簡約化します。

1. 2行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ -3 & 6 & -7 & 3 \\ -1 & 2 & -4 & -4 \end{bmatrix}$

2. 3行目に1行目の3倍を加える:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ -1 & 2 & -4 & -4 \end{bmatrix}$

3. 4行目に1行目を加える:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{bmatrix}$

4. 1行目から2行目の3倍を引く:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{bmatrix}$

5. 3行目から2行目の2倍を引く:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{bmatrix}$

6. 4行目に2行目を加える:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

主成分（leading 1)がある列は、第1列と第3列です。

(2) 行列 $A$ の階数（ランク）は、簡約化された行列の主成分の数に等しく、主成分のある列の数に等しいです。この場合は、1と3列目に主成分があるので、ランクは2です。

3. 最終的な答え

(1) 第1列、第3列

(2) 2