与えられた行列 $A$ の正則性を掃き出し法を使って判定し、正則であれば逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & -2 \\ 2 & 4 & -4 & 4 & 4 \\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 4 & 4 & 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の正則性を掃き出し法を使って判定し、正則であれば逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix}

2 & 4 & 0 & 0 & -2 \\

4 & 2 & 2 & 4 & -2 \\

2 & 4 & -4 & 4 & 4 \\

2 & 0 & 4 & 2 & 0 \\

4 & 2 & 4 & 4 & 0

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ に単位行列 $I$ を並べた拡大行列 $[A|I]$ を作り、行基本変形を用いて $A$ を単位行列に変形します。もし $A$ が単位行列に変形できれば、そのときの右側の行列が $A^{-1}$ となります。もし変形途中で $A$ のある行がすべて0になってしまった場合は、$A$ は正則ではありません。

拡大行列 $[A|I]$ は次のようになります。

$\begin{bmatrix}

2 & 4 & 0 & 0 & -2 &| & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

4 & 2 & 2 & 4 & -2 &| & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

2 & 4 & -4 & 4 & 4 &| & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

2 & 0 & 4 & 2 & 0 &| & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

4 & 2 & 4 & 4 & 0 &| & 0 & 0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

以下、行基本変形を行います。

1. 1行目を1/2倍する。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 & -1 &| & 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

4 & 2 & 2 & 4 & -2 &| & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

2 & 4 & -4 & 4 & 4 &| & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

2 & 0 & 4 & 2 & 0 &| & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

4 & 2 & 4 & 4 & 0 &| & 0 & 0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

2. 2行目から1行目の4倍を引く、3行目から1行目の2倍を引く、4行目から1行目の2倍を引く、5行目から1行目の4倍を引く。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 & -1 &| & 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -6 & 2 & 4 & 2 &| & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -4 & 4 & 6 &| & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & -4 & 4 & 2 & 2 &| & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & -6 & 4 & 4 & 4 &| & -2 & 0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

3. 2行目を-1/6倍する。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 & -1 &| & 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & -1/3 & -2/3 & -1/3 &| & 1/3 & -1/6 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -4 & 4 & 6 &| & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & -4 & 4 & 2 & 2 &| & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & -6 & 4 & 4 & 4 &| & -2 & 0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

4. 1行目から2行目の2倍を引く、4行目に2行目の4倍を足す、5行目に2行目の6倍を足す。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2/3 & 4/3 & -1/3 &| & -1/6 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & -1/3 & -2/3 & -1/3 &| & 1/3 & -1/6 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -4 & 4 & 6 &| & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 8/3 & -2/3 & -2/3 &| & 1/3 & -2/3 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 &| & 0 & -1 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

5. 3行目を-1/4倍する。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2/3 & 4/3 & -1/3 &| & -1/6 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & -1/3 & -2/3 & -1/3 &| & 1/3 & -1/6 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & -1 & -3/2 &| & 1/4 & 0 & -1/4 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 8/3 & -2/3 & -2/3 &| & 1/3 & -2/3 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 &| & 0 & -1 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

6. 1行目から3行目の2/3倍を引く、2行目に3行目の1/3倍を足す、4行目から3行目の8/3倍を引く、5行目から3行目の2倍を引く。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 2 & 0 &| & -1/3 & 1/3 & 1/6 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & -1 & -1 &| & 5/12 & -1/6 & -1/12 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & -1 & -3/2 &| & 1/4 & 0 & -1/4 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 4 &| & -1/2 & -2/3 & 2/3 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 5 &| & -1/2 & -1 & 1/2 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

7. 4行目を1/2倍する。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 2 & 0 &| & -1/3 & 1/3 & 1/6 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & -1 & -1 &| & 5/12 & -1/6 & -1/12 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & -1 & -3/2 &| & 1/4 & 0 & -1/4 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 2 &| & -1/4 & -1/3 & 1/3 & 1/2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 5 &| & -1/2 & -1 & 1/2 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

8. 1行目から4行目の2倍を引く、2行目に4行目を足す、3行目に4行目を足す、5行目から4行目の2倍を引く。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & -4 &| & 0 & 1 & -1/2 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 1 &| & 1/6 & -1/2 & 1/12 & 1/2 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 &| & 0 & -1/3 & 1/12 & 1/2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 2 &| & -1/4 & -1/3 & 1/3 & 1/2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 &| & 0 & -1/3 & -1/6 & -1 & 1

\end{bmatrix}$

9. 1行目に5行目の4倍を足す、2行目から5行目を引く、3行目から5行目の1/2倍を引く、4行目から5行目の2倍を引く。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 0 &| & 0 & -1/3 & -1/2 & -5 & 4 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 &| & 1/6 & -1/6 & 1/6 & 3/2 & -1 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 &| & 0 & -1/6 & 1/6 & 3/2 & -1/2 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 0 &| & -1/4 & -1/9 & 2/3 & 5/2 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 &| & 0 & -1/3 & -1/6 & -1 & 1

\end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

逆行列 $A^{-1}$ は次のようになります。

$A^{-1} = \begin{bmatrix}

0 & -1/3 & -1/2 & -5 & 4 \\

1/6 & -1/6 & 1/6 & 3/2 & -1 \\

0 & -1/6 & 1/6 & 3/2 & -1/2 \\

-1/4 & -1/9 & 2/3 & 5/2 & -2 \\

0 & -1/3 & -1/6 & -1 & 1

\end{bmatrix}$