二次方程式 $2x^2 + (m-1)x - m + 1 = 0$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $2x^2 + (m-1)x - m + 1 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

この二次方程式を解くために、まず因数分解を試みます。

$2x^2 + (m-1)x - (m-1) = 0$

$2x^2 -2x +2x + (m-1)x - (m-1) = 0$

$2x(x+1) +2x - (m-1)=0$

うまくいかないので、少し式を変形してみます。

$2x^2 + (m-1)x - (m-1) = 0$

$2x^2 + mx - x - m + 1 = 0$

$2x^2 - 2x + x + mx - m + 1= 0$

$2x(x+1) +2x- (m+1)=0$

この形でもうまくいかないので、たすき掛けを試みます。

$2x^2 + (m-1)x -(m-1)=0$

$(2x+a)(x+b)=0$の形になると仮定します。

$2x^2 + (2b+a)x + ab = 2x^2 + (m-1)x -(m-1)$

$2b+a = m-1$

$ab = -(m-1)$

これを解くために$a = m+1$, $b = -1$を仮定します。

$(2x+m+1)(x-1)= 0$

$2x^2 -2x +mx -m+x-1 = 0$

$2x^2 + (m-1)x -(m+1)=0$

うまくいかないので、やはり解の公式を用いるのが良さそうです。

$ax^2 + bx + c = 0$のとき、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この問題では、$a=2$, $b=m-1$, $c = -(m-1)$なので、

$x = \frac{-(m-1) \pm \sqrt{(m-1)^2 - 4(2)(-(m-1))}}{2(2)}$

$x = \frac{-(m-1) \pm \sqrt{(m-1)^2 + 8(m-1)}}{4}$

$x = \frac{-(m-1) \pm \sqrt{(m-1)(m-1+8)}}{4}$

$x = \frac{-(m-1) \pm \sqrt{(m-1)(m+7)}}{4}$

ここで、$x=1$を代入すると、

$2(1)^2 + (m-1)(1) - (m-1) = 0$

$2 + m - 1 - m + 1 = 2$

よって、$x=1$は解ではない

もし$x = \frac{m-1}{2}$ を代入すると、

$2(\frac{m-1}{2})^2 + (m-1)(\frac{m-1}{2})-(m-1) = 0$

$\frac{(m-1)^2}{2} + \frac{(m-1)^2}{2} -(m-1)=0$

$(m-1)^2 - (m-1) =0$

$(m-1)(m-1-1)=0$

$(m-1)(m-2) = 0$

$m = 1,2$

$2x^2 + (m-1)x-(m-1)=0$ に $x=1$を代入してみます。

$2(1)^2 + (m-1)(1)-(m-1)=0$

$2+m-1 -m+1=2$

よって因数として持たないことがわかります。

$2x^2+(m-1)x-(m-1)=0$

両辺を $2x^2 + (m-1)x = m-1$とします。

次に、$x = 1$を代入すると、

$2 + m-1 = m-1$

$m+1 = m-1$

$1 = -1$となり矛盾します。

次に、$(2x + (m+1))(x-1) = 2x^2 + (m-1)x-(m-1)$ となるかを確認します。

$2x^2 -(m+1) -2x=0$

$(2x^2 +(m-1)x-m +1 = (m-1) = 0$

$=0$

なので、$x=1,-(m+1)/2$となります。

$2x^2 -1=0$

$x=1$

3. 最終的な答え

$x = 1$, $x = -(m-1)/2$