右の図にある放物線について、頂点の $y$ 座標が $-3$ であるとき、この放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

右の図にある放物線について、頂点の $y$ 座標が $-3$ であるとき、この放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線と $x$ 軸との交点が $x=-1$ と $x=5$ であることから、放物線の方程式は

$y = a(x+1)(x-5)$

と表せる。ただし、$a$ は定数である。

次に、頂点の $y$ 座標が $-3$ であることを利用して $a$ を求める。

$y = a(x+1)(x-5) = a(x^2 -4x -5) = a((x-2)^2 -9) = a(x-2)^2 -9a$

この式から、頂点の座標は $(2, -9a)$ である。したがって、

$-9a = -3$

となる。これを解くと

$a = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$

よって、放物線の方程式は

$y = \frac{1}{3}(x+1)(x-5)$

と表せる。展開すると、

$y = \frac{1}{3}(x^2 -4x -5) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$

となる。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$

あるいは

$y = \frac{1}{3}(x+1)(x-5)$

あるいは

$y = \frac{1}{3}(x-2)^2 - 3$