次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$　・・・ (1)

(1)式の両辺に2をかけると、

$2S = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (3n-5) \cdot 2^{n-1} + (3n-2) \cdot 2^n$　・・・ (2)

(1)式から(2)式を引くと、

$S - 2S = 1 + (4-1) \cdot 2 + (7-4) \cdot 2^2 + \dots + (3n-2 - (3n-5)) \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (3n-2) \cdot 2^n$

ここで、$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$は初項2, 公比2, 項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2(2^{n-1}-1) = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 3(2^n - 2) - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3 \cdot 2^n - 6 - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 3 \cdot 2^n - 3n \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n - 5$

$-S = (5-3n) \cdot 2^n - 5$

$S = (3n-5) \cdot 2^n + 5$

3. 最終的な答え

$S = (3n-5) \cdot 2^n + 5$