次の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ の式を書き下します。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

次に、両辺に2をかけます。

$2S = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (3n-5) \cdot 2^{n-1} + (3n-2) \cdot 2^{n}$

$S$ から $2S$ を引きます。

$S - 2S = 1 \cdot 1 + (4-1) \cdot 2 + (7-4) \cdot 2^2 + \dots + ((3n-2)-(3n-5)) \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^n$

$1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot 2^{n-1}$ の部分を計算します。これは等比数列の和なので、

$1 + 3(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) = 1 + 3 \cdot \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 1 + 3 \cdot 2(2^{n-1} - 1) = 1 + 6(2^{n-1} - 1) = 1 + 3 \cdot 2^n - 6 = 3 \cdot 2^n - 5$

したがって、

$-S = 3 \cdot 2^n - 5 - (3n-2) \cdot 2^n = 3 \cdot 2^n - 5 - 3n \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n = 5 \cdot 2^n - 5 - 3n \cdot 2^n = (5-3n) \cdot 2^n - 5$

$S = (3n-5) \cdot 2^n + 5$

3. 最終的な答え

$S = (3n-5)2^n + 5$