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問題は以下の連立方程式を拡大係数行列を用いて解くことです。 (1) $ \begin{cases} x + y = 4 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 9x + 9y - 8z = 3 \\ 12x + 11y - 13z = -5 \\ 60x + 63y - 46z = 48 \end{cases} $

代数学連立方程式線形代数拡大係数行列ガウスの消去法
2025/6/14

1. 問題の内容

問題は以下の連立方程式を拡大係数行列を用いて解くことです。
(1)
\begin{cases}
x + y = 4 \\
3x - 2y = 5
\end{cases}
(2)
\begin{cases}
9x + 9y - 8z = 3 \\
12x + 11y - 13z = -5 \\
60x + 63y - 46z = 48
\end{cases}

2. 解き方の手順

(1)
拡大係数行列は次の通りです。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 4 \\
3 & -2 & 5
\end{array}
\right]
2行目から1行目の3倍を引きます。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 4 \\
0 & -5 & -7
\end{array}
\right]
2行目を-5で割ります。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 4 \\
0 & 1 & \frac{7}{5}
\end{array}
\right]
1行目から2行目を引きます。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & 4 - \frac{7}{5} \\
0 & 1 & \frac{7}{5}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & \frac{13}{5} \\
0 & 1 & \frac{7}{5}
\end{array}
\right]
したがって、x=135x = \frac{13}{5}、y=75y = \frac{7}{5}です。
(2)
拡大係数行列は次の通りです。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
9 & 9 & -8 & 3 \\
12 & 11 & -13 & -5 \\
60 & 63 & -46 & 48
\end{array}
\right]
1行目を3で割ります。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
3 & 3 & -\frac{8}{3} & 1 \\
12 & 11 & -13 & -5 \\
60 & 63 & -46 & 48
\end{array}
\right]
2行目から1行目の4倍を引きます。
3行目から1行目の20倍を引きます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
3 & 3 & -\frac{8}{3} & 1 \\
0 & -1 & -\frac{7}{3} & -9 \\
0 & 3 & -\frac{22}{3} & 28
\end{array}
\right]
2行目に-1を掛けます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
3 & 3 & -\frac{8}{3} & 1 \\
0 & 1 & \frac{7}{3} & 9 \\
0 & 3 & -\frac{22}{3} & 28
\end{array}
\right]
1行目から2行目の3倍を引きます。
3行目から2行目の3倍を引きます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
3 & 0 & -15/3 & -26 \\
0 & 1 & \frac{7}{3} & 9 \\
0 & 0 & -43/3 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{ccc|c}
3 & 0 & -5 & -26 \\
0 & 1 & \frac{7}{3} & 9 \\
0 & 0 & -\frac{43}{3} & 1
\end{array}
\right]
3行目に-3/43をかけます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
3 & 0 & -5 & -26 \\
0 & 1 & \frac{7}{3} & 9 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{3}{43}
\end{array}
\right]
1行目に3行目の5倍を足します。
2行目から3行目の7/3倍を引きます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
3 & 0 & 0 & -26 - \frac{15}{43} \\
0 & 1 & 0 & 9 + \frac{7}{43} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{3}{43}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{ccc|c}
3 & 0 & 0 & \frac{-1133}{43} \\
0 & 1 & 0 & \frac{394}{43} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{3}{43}
\end{array}
\right]
1行目を3で割ります。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & \frac{-1133}{129} \\
0 & 1 & 0 & \frac{394}{43} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{3}{43}
\end{array}
\right]
したがって、x=−1133129x = -\frac{1133}{129}, y=39443y = \frac{394}{43}, z=−343z = -\frac{3}{43}です。

3. 最終的な答え

(1) x=135x = \frac{13}{5}, y=75y = \frac{7}{5}
(2) x=−1133129x = -\frac{1133}{129}, y=39443y = \frac{394}{43}, z=−343z = -\frac{3}{43}

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