画像に記載された数学の問題は全部で5問あります。 * 1.(1) 対称行列における未知数 $a, b$ の値を求める問題。 * 1.(2) 交代行列における未知数 $c, d$ の値を求める問題。 * 1.(3) 行列 $A + B$ が与えられたとき、転置行列 ${}^t A + {}^t B$ を求める問題。 * 2. 行列 $A$ が与えられたとき、(1) $| \lambda E - A |$ を $\lambda$ で表し、(2) $A$ の固有値を全て求め、(3) $A$ の固有ベクトルを全て求める問題。 * 3. 関数 $f(x) = -3x^4 + 8x^3 - 6x^2$ について、(1) 導関数 $f'(x)$ を求め、(2) 極大値と極大値をとる $x$ の値を求め、(3) 極小値と極小値をとる $x$ の値を求める問題。 * 4. 関数 $y = \log(2x^2 - 1)$ について、(1) $2x^2 - 1$ の導関数を求め、(2) $2x^2 - 1 = u$ としたとき、$y'$ を $u$ と $u'$ で表し、(3) $y'$ を $x$ で表す問題。 * 5. 不定積分 $\int (\cos x \sin^2 x) dx$ を置換積分法で求める問題。$\sin x = t$ とおく。(1) $\sin^2 x$ を $t$ で表し、(2) $\frac{dt}{dx}$ を求め、(3) $\int (\cos x \sin^2 x) dx$ を求める問題。

1. 問題の内容

画像に記載された数学の問題は全部で5問あります。

* 1.(1) 対称行列における未知数 $a, b$ の値を求める問題。

* 1.(2) 交代行列における未知数 $c, d$ の値を求める問題。

* 1.(3) 行列 $A + B$ が与えられたとき、転置行列 ${}^t A + {}^t B$ を求める問題。

*

2. 行列 $A$ が与えられたとき、(1) $| \lambda E - A |$ を $\lambda$ で表し、(2) $A$ の固有値を全て求め、(3) $A$ の固有ベクトルを全て求める問題。

*

3. 関数 $f(x) = -3x^4 + 8x^3 - 6x^2$ について、(1) 導関数 $f'(x)$ を求め、(2) 極大値と極大値をとる $x$ の値を求め、(3) 極小値と極小値をとる $x$ の値を求める問題。

*

4. 関数 $y = \log(2x^2 - 1)$ について、(1) $2x^2 - 1$ の導関数を求め、(2) $2x^2 - 1 = u$ としたとき、$y'$ を $u$ と $u'$ で表し、(3) $y'$ を $x$ で表す問題。

*

5. 不定積分 $\int (\cos x \sin^2 x) dx$ を置換積分法で求める問題。$\sin x = t$ とおく。(1) $\sin^2 x$ を $t$ で表し、(2) $\frac{dt}{dx}$ を求め、(3) $\int (\cos x \sin^2 x) dx$ を求める問題。

2. 解き方の手順

**1.(1) 対称行列**

対称行列は、転置行列が元の行列と等しい行列です。つまり、$A = {}^t A$。

与えられた行列

$A = \begin{pmatrix} 3 & a & 3 \\ -2 & 1 & 2 \\ 3 & b & 1 \end{pmatrix}$

の転置行列は

${}^t A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 3 \\ a & 1 & b \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A = {}^t A$ より、$a = -2$, $b = 2$。

**1.(2) 交代行列**

交代行列は、転置行列が元の行列の $-1$ 倍に等しい行列です。つまり、$A = -{}^t A$。対角成分はすべて0です。

与えられた行列

$A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & d \\ 3 & c & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

の転置行列は

${}^t A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -3 & c & 1 \\ d & -1 & 0 \end{pmatrix}$

$A = -{}^t A$ より、$c = 0$, $d = 2$。

**1.(3) 転置行列の和**

$A+B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられているので、${}^t A + {}^t B = {}^t(A+B)$。

${}^t(A+B) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

**

2. 行列 A の固有値と固有ベクトル**

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

(1) $| \lambda E - A |$ を計算します。

$| \lambda E - A | = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & 0 & -1 \\ 0 & \lambda - 2 & 1 \\ -1 & 1 & \lambda - 3 \end{vmatrix} = (\lambda - 2) [(\lambda - 2)(\lambda - 3) - 1] - 1[0 - (-1)(\lambda - 2)] = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 5\lambda + 6 - 1) + (\lambda - 2) = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 5\lambda + 5) + (\lambda - 2) = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 5\lambda + 6) = (\lambda - 2)(\lambda - 2)(\lambda - 3) = (\lambda - 2)^2 (\lambda - 3)$

(2) 固有値は $| \lambda E - A | = 0$ を満たす $\lambda$ の値なので、$\lambda = 2, 3$。

(3) 固有値 $\lambda = 2$ に対する固有ベクトルを求めます。

$(A - 2E)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$z = 0$ かつ $x - y + z = 0$ より $x = y$。よって固有ベクトルは $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の定数倍。

固有値 $\lambda = 3$ に対する固有ベクトルを求めます。

$(A - 3E)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + z = 0$ かつ $-y - z = 0$ かつ $x - y = 0$ より $x = z$ かつ $y = -z$。よって固有ベクトルは $v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

**

3. 関数 f(x) の極値**

$f(x) = -3x^4 + 8x^3 - 6x^2$

(1) $f'(x) = -12x^3 + 24x^2 - 12x = -12x(x^2 - 2x + 1) = -12x(x-1)^2$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = 0, 1$。

$x = 0$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負に変わるので、$x=0$ で極大値をとる。

$f(0) = 0$。極大値は

0.

(3) $x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号は変わらないので、$x = 1$ で極値を取らない。極小値はなし。

**

4. 関数 y の微分**

$y = \log(2x^2 - 1)$

(1) $(2x^2 - 1)' = 4x$

(2) $u = 2x^2 - 1$ とすると、$y = \log u$。$y' = \frac{u'}{u}$

(3) $y' = \frac{4x}{2x^2 - 1}$

**

5. 不定積分の計算**

$\int (\cos x \sin^2 x) dx$, $\sin x = t$

(1) $\sin^2 x = t^2$

(2) $\frac{dt}{dx} = \cos x$

(3) $\int (\cos x \sin^2 x) dx = \int t^2 dt = \frac{1}{3}t^3 + C = \frac{1}{3} \sin^3 x + C$ (C は積分定数)

3. 最終的な答え

**1.**

(1) $a = -2$, $b = 2$

(2) $c = 0$, $d = 2$

(3) ${}^t A + {}^t B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

**2.**

(1) $| \lambda E - A | = (\lambda - 2)^2 (\lambda - 3)$

(2) $\lambda = 2, 3$

(3) $\lambda = 2$ に対する固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の定数倍

$\lambda = 3$ に対する固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍

**3.**

(1) $f'(x) = -12x^3 + 24x^2 - 12x$

(2) 極大値: 0, $x = 0$

(3) 極小値: なし

**4.**

(1) $4x$

(2) $y' = \frac{u'}{u}$

(3) $y' = \frac{4x}{2x^2 - 1}$

**5.**

(1) $\sin^2 x = t^2$

(2) $\frac{dt}{dx} = \cos x$

(3) $\int (\cos x \sin^2 x) dx = \frac{1}{3} \sin^3 x + C$