2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{|b|}{a}$ を解け。また、不等式 $k \le x$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{|b|}{a}$ を解け。また、不等式 $k \le x$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解く。解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$

$a < b$ より、 $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$。

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$$

次に $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ を求める。

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{20}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = \frac{20}{4 - 6} = \frac{20}{-2} = -10$$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{|b|}{a}$ を解く。

まず $\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

次に $\frac{|b|}{a} = \frac{2 + \sqrt{6}}{-( \sqrt{6} - 2)} = -1$

したがって、不等式は $|x - (-5 + 2\sqrt{6})| \le |-1|$ すなわち $|x + 5 - 2\sqrt{6}| \le 1$ となる。

$-1 \le x + 5 - 2\sqrt{6} \le 1$ より、 $-6 + 2\sqrt{6} \le x \le -4 + 2\sqrt{6}$

ここで、$\sqrt{6} \approx 2.45$ なので、 $2\sqrt{6} \approx 4.9$

$-6 + 2\sqrt{6} \approx -6 + 4.9 = -1.1$

$-4 + 2\sqrt{6} \approx -4 + 4.9 = 0.9$

したがって、$-1.1 \le x \le 0.9$ となり、これを満たす整数は $-1, 0$ である。

不等式 $k \le x$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在する必要があるので、$k$ が満たすべき条件は $-2 < k \le -1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20, \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-6 + 2\sqrt{6} \le x \le -4 + 2\sqrt{6}$, $-2 < k \le -1$