放物線 $y = 9 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に、長方形 $PQRS$ が辺 $PS$ を $x$ 軸上にして内接している。点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とし、長方形の周の長さを $l(t)$ とする。 (1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) $l(t)$ を $t$ の式で表せ。 (3) $l(t)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 9 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に、長方形 $PQRS$ が辺 $PS$ を $x$ 軸上にして内接している。点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とし、長方形の周の長さを $l(t)$ とする。

(1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $l(t)$ を $t$ の式で表せ。

(3) $l(t)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = 9 - x^2$ より、$y = -(x+3)(x-3)$ であるから、放物線と $x$ 軸との交点は $(3,0)$ と $(-3,0)$ である。点 $P$ は原点 $O$ と点 $(3,0)$ の間にあるので、$t$ のとり得る値の範囲は $0 < t < 3$ である。

(2) $PQ = RS = 9 - t^2$ であり、$QR = SP = 2t$ であるから、長方形の周の長さ $l(t)$ は

$l(t) = PQ + QR + RS + SP = 2(9 - t^2) + 2(2t) = 18 - 2t^2 + 4t = -2t^2 + 4t + 18$

よって、$l(t) = -2t^2 + 4t + 18$

(3) $l(t) = -2(t^2 - 2t) + 18 = -2(t^2 - 2t + 1) + 2 + 18 = -2(t-1)^2 + 20$

$0 < t < 3$ より、$t = 1$ のとき、$l(t)$ は最大値 $20$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $0 < t < 3$

(2) $l(t) = -2t^2 + 4t + 18$

(3) $20$