3次方程式 $x^3 - 2x^2 + ax + b = 0$ が $1$ と $-1$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、さらに他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 2x^2 + ax + b = 0$ が $1$ と $-1$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、さらに他の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = 1$ および $x = -1$ が解であるから、それぞれの方程式に代入して、$a$ と $b$ に関する連立方程式を作る。

$x = 1$ を代入すると、

$1^3 - 2(1)^2 + a(1) + b = 0$

$1 - 2 + a + b = 0$

$a + b = 1$ ...(1)

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 - 2(-1)^2 + a(-1) + b = 0$

$-1 - 2 - a + b = 0$

$-a + b = 3$ ...(2)

(1) と (2) を連立させて解く。

(1) + (2) より、

$2b = 4$

$b = 2$

$b = 2$ を (1) に代入すると、

$a + 2 = 1$

$a = -1$

したがって、$a = -1$, $b = 2$

(2) $a = -1, b = 2$ を $x^3 - 2x^2 + ax + b = 0$ に代入すると、

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

この方程式は、$x = 1$ および $x = -1$ を解に持つので、$(x-1)(x+1)$ で割り切れる。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ なので、$x^3 - 2x^2 - x + 2$ を $x^2 - 1$ で割る。

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x^2 - 1)(x - 2)$

よって、$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

したがって、他の解は $x = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1, b = 2$

(2) 他の解は $x = 2$