方程式 $4x + 3y + z = 16$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $4x + 3y + z = 16$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x, y, z$ は自然数なので、$x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ です。

まず、$x$ の値で場合分けします。

$x = 1$ のとき、$3y + z = 16 - 4 = 12$ となります。

$3y + z = 12$ を満たす自然数 $y, z$ の組を考えます。

$y$ は自然数なので、$y \ge 1$。また、$z = 12 - 3y \ge 1$ より、$3y \le 11$ なので、$y \le \frac{11}{3} = 3.66...$

したがって、$y$ は $1, 2, 3$ のいずれかです。

$y=1$ のとき、$z=12-3(1) = 9$

$y=2$ のとき、$z=12-3(2) = 6$

$y=3$ のとき、$z=12-3(3) = 3$

よって、$x=1$ のとき、解は $(1, 1, 9)$, $(1, 2, 6)$, $(1, 3, 3)$ の3組です。

$x = 2$ のとき、$3y + z = 16 - 8 = 8$ となります。

$3y + z = 8$ を満たす自然数 $y, z$ の組を考えます。

$y \ge 1$ で、$z = 8 - 3y \ge 1$ より、$3y \le 7$ なので、$y \le \frac{7}{3} = 2.33...$

したがって、$y$ は $1, 2$ のいずれかです。

$y=1$ のとき、$z=8-3(1) = 5$

$y=2$ のとき、$z=8-3(2) = 2$

よって、$x=2$ のとき、解は $(2, 1, 5)$, $(2, 2, 2)$ の2組です。

$x = 3$ のとき、$3y + z = 16 - 12 = 4$ となります。

$3y + z = 4$ を満たす自然数 $y, z$ の組を考えます。

$y \ge 1$ で、$z = 4 - 3y \ge 1$ より、$3y \le 3$ なので、$y \le 1$

したがって、$y=1$ のみです。

$y=1$ のとき、$z=4-3(1) = 1$

よって、$x=3$ のとき、解は $(3, 1, 1)$ の1組です。

$x = 4$ のとき、$4x = 16$ となり、$3y + z = 0$ となります。

これは $y, z$ が自然数という条件を満たさないので、解はありません。

したがって、解の組は $(1, 1, 9)$, $(1, 2, 6)$, $(1, 3, 3)$, $(2, 1, 5)$, $(2, 2, 2)$, $(3, 1, 1)$ の合計6組です。

3. 最終的な答え

6組