2次方程式 $x^2 - 2(k+2)x + 5k + 6 = 0$ が、-1より大きい2つの解（重解を含む）を持つような、実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(k+2)x + 5k + 6 = 0$ が、-1より大きい2つの解（重解を含む）を持つような、実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 2(k+2)x + 5k + 6$ とおきます。この2次方程式が -1 より大きい2つの解を持つための条件は、以下の3つです。

(1) 判別式 $D \geq 0$ (実数解を持つ条件)

(2) 軸 > -1 (2つの解が -1 より大きい条件)

(3) $f(-1) > 0$ (2つの解が -1 より大きい条件)

(1) 判別式 $D$ について：

$D = (-2(k+2))^2 - 4(1)(5k+6) = 4(k^2 + 4k + 4) - 20k - 24 = 4k^2 + 16k + 16 - 20k - 24 = 4k^2 - 4k - 8 \geq 0$

$k^2 - k - 2 \geq 0$

$(k-2)(k+1) \geq 0$

よって、$k \leq -1$ または $k \geq 2$

(2) 軸について：

軸は $x = \frac{-(-2(k+2))}{2(1)} = k+2$

$k+2 > -1$

$k > -3$

(3) $f(-1)$ について：

$f(-1) = (-1)^2 - 2(k+2)(-1) + 5k + 6 = 1 + 2k + 4 + 5k + 6 = 7k + 11 > 0$

$7k > -11$

$k > -\frac{11}{7}$

上記の3つの条件をすべて満たす $k$ の範囲を求めます。

$k \leq -1$ または $k \geq 2$

$k > -3$

$k > -\frac{11}{7}$

$k > -3$ かつ $k > -\frac{11}{7}$ より、$k > -\frac{11}{7}$

したがって、$k \leq -1$ または $k \geq 2$ かつ $k > -\frac{11}{7}$ を満たす $k$ の範囲は、

$-\frac{11}{7} < k \leq -1$ または $k \geq 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{11}{7} < k \leq -1$, $k \geq 2$