$R^2$ において、ベクトル $b_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$ と $b_2 = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}$ が一次独立であることを示す問題です。

1. 問題の内容

$R^2$ において、ベクトル $b_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$ と $b_2 = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}$ が一次独立であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル $b_1$ と $b_2$ が一次独立であるとは、あるスカラー $c_1$ と $c_2$ が存在し、

$c_1 b_1 + c_2 b_2 = 0$ を満たすとき、

$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ であることを意味します。

つまり、$c_1 b_1 + c_2 b_2 = 0$ という式から、$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ が導ければ、

$b_1$ と $b_2$ は一次独立であると言えます。

$c_1 b_1 + c_2 b_2 = 0$ を書き下すと、

$c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

となります。

これを整理すると、以下の連立方程式を得ます。

$3c_1 + 5c_2 = 0$

$-2c_1 - c_2 = 0$

2番目の式を2倍すると $-4c_1 - 2c_2 = 0$ となります。

これは $c_2 = -2c_1$と書き換えられます。

これを1番目の式に代入すると、

$3c_1 + 5(-2c_1) = 0$

$3c_1 - 10c_1 = 0$

$-7c_1 = 0$

よって $c_1 = 0$ が得られます。

$c_1 = 0$ を $c_2 = -2c_1$ に代入すると、

$c_2 = -2(0) = 0$

よって $c_2 = 0$ が得られます。

したがって、$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

ベクトル $b_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$ と $b_2 = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}$ は一次独立である。