与えられた三角関数の等式 $\frac{1 - \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} + \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{2}{2\cos^2 \alpha - 1}$ が正しいことを証明します。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の等式

$\frac{1 - \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} + \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{2}{2\cos^2 \alpha - 1}$

が正しいことを証明します。

2. 解き方の手順

左辺を計算し、右辺と同じになることを示します。

左辺の分母を払い、通分します。

$\frac{1 - \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} + \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{(1 - \tan \alpha)^2 + (1 + \tan \alpha)^2}{(1 + \tan \alpha)(1 - \tan \alpha)}$

分子を展開します。

$(1 - \tan \alpha)^2 = 1 - 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha$

$(1 + \tan \alpha)^2 = 1 + 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha$

したがって、分子は

$(1 - 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha) + (1 + 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha) = 2 + 2\tan^2 \alpha = 2(1 + \tan^2 \alpha)$

分母は

$(1 + \tan \alpha)(1 - \tan \alpha) = 1 - \tan^2 \alpha$

よって、左辺は

$\frac{2(1 + \tan^2 \alpha)}{1 - \tan^2 \alpha}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ を代入します。

$\frac{2(1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha})}{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{2(\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha})}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{2(1)}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \frac{2}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}$

倍角の公式 $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ を用いると、

$\frac{2}{\cos 2\alpha}$

ここで、$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ なので、

$\frac{2}{2\cos^2 \alpha - 1}$

これは右辺と等しいので、与えられた等式は正しいです。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{2\cos^2 \alpha - 1}$