与えられた方程式 $2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 7 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 7 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について解く。

$2x^2 + (7y)x + (6y^2 - y - 7) = 0$

これは $x$ に関する二次方程式である。解の公式を用いると、

$x = \frac{-7y \pm \sqrt{(7y)^2 - 4(2)(6y^2 - y - 7)}}{2(2)}$

$x = \frac{-7y \pm \sqrt{49y^2 - 48y^2 + 8y + 56}}{4}$

$x = \frac{-7y \pm \sqrt{y^2 + 8y + 56}}{4}$

$x$ が整数であるためには、根号の中身 $y^2 + 8y + 56$ が平方数でなければならない。そこで、$y^2 + 8y + 56 = k^2$ (kは整数)とおく。

$y^2 + 8y + 16 + 40 = k^2$

$(y+4)^2 + 40 = k^2$

$k^2 - (y+4)^2 = 40$

$(k - (y+4))(k + (y+4)) = 40$

$k - (y+4) = a$, $k + (y+4) = b$ とおく。このとき、$ab = 40$ である。

$a+b = 2k$, $b-a = 2(y+4)$.

$k = \frac{a+b}{2}$ と $y = \frac{b-a}{2} - 4$.

$a$と$b$はともに偶数か、ともに奇数でなければならない。

また$ab=40$なので$a$と$b$はともに偶数である。

40 の偶数の約数の組を列挙すると、(2, 20), (4, 10), (-2, -20), (-4, -10).

(a, b) = (2, 20) のとき、 $y = \frac{20-2}{2} - 4 = 9-4=5$. $x = \frac{-7(5) \pm \sqrt{5^2 + 8(5) + 56}}{4} = \frac{-35 \pm \sqrt{25 + 40 + 56}}{4} = \frac{-35 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{-35 \pm 11}{4}$.

$x = \frac{-35+11}{4} = \frac{-24}{4} = -6$. $x = \frac{-35-11}{4} = \frac{-46}{4}$ (整数ではない).

(a, b) = (4, 10) のとき、$y = \frac{10-4}{2} - 4 = 3 - 4 = -1$. $x = \frac{-7(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 + 8(-1) + 56}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{1 - 8 + 56}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{7 \pm 7}{4}$.

$x = \frac{7+7}{4} = \frac{14}{4}$ (整数ではない). $x = \frac{7-7}{4} = 0$.

(a, b) = (-2, -20) のとき、$y = \frac{-20+2}{2} - 4 = -9 - 4 = -13$. $x = \frac{-7(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 + 8(-13) + 56}}{4} = \frac{91 \pm \sqrt{169 - 104 + 56}}{4} = \frac{91 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{91 \pm 11}{4}$.

$x = \frac{91+11}{4} = \frac{102}{4}$ (整数ではない). $x = \frac{91-11}{4} = \frac{80}{4} = 20$.

(a, b) = (-4, -10) のとき、$y = \frac{-10+4}{2} - 4 = -3 - 4 = -7$. $x = \frac{-7(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 + 8(-7) + 56}}{4} = \frac{49 \pm \sqrt{49 - 56 + 56}}{4} = \frac{49 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{49 \pm 7}{4}$.

$x = \frac{49+7}{4} = \frac{56}{4} = 14$. $x = \frac{49-7}{4} = \frac{42}{4}$ (整数ではない).

したがって、解は (x, y) = (-6, 5), (0, -1), (20, -13), (14, -7).

3. 最終的な答え

(x, y) = (-6, 5), (0, -1), (20, -13), (14, -7)