$4x + 5y = 2091$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組の個数と、$|2x - y|$ が最小となる $(x, y)$ の組を求める。

1. 問題の内容

$4x + 5y = 2091$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組の個数と、$|2x - y|$ が最小となる $(x, y)$ の組を求める。

2. 解き方の手順

まず、$4x + 5y = 2091$ を変形して $x$ について解く。

$4x = 2091 - 5y$

$x = \frac{2091 - 5y}{4}$

$x$ が自然数であるためには、$2091 - 5y$ が 4 の倍数である必要がある。

$2091$ を 4 で割ると $2091 = 4 \times 522 + 3$ なので、

$2091 \equiv 3 \pmod{4}$

$5y \equiv 3 \pmod{4}$ を満たす必要がある。

$5 \equiv 1 \pmod{4}$ なので、$y \equiv 3 \pmod{4}$ となる。

したがって、$y$ は $y = 4k + 3$ (k は 0 以上の整数) の形で表される。

$x$ と $y$ は自然数なので、$x > 0$ かつ $y > 0$ である。

$y > 0$ より $4k + 3 > 0$ なので、$k > -\frac{3}{4}$。これは $k \geq 0$ と同じ。

$x > 0$ より $\frac{2091 - 5y}{4} > 0$ なので、$2091 - 5y > 0$。

$5y < 2091$ より $y < \frac{2091}{5} = 418.2$。

したがって、$4k + 3 < 418.2$。

$4k < 415.2$ より $k < \frac{415.2}{4} = 103.8$。

よって、$k$ は $0 \leq k \leq 103$ を満たす整数である。

$k$ の個数は $103 - 0 + 1 = 104$ なので、$x$ と $y$ が共に自然数となる組は 104 通り。

次に、$|2x - y|$ が最小となる組を求める。

$x = \frac{2091 - 5y}{4}$ を $|2x - y|$ に代入すると、

$|2x - y| = |2(\frac{2091 - 5y}{4}) - y| = |\frac{2091 - 5y}{2} - y| = |\frac{2091 - 5y - 2y}{2}| = |\frac{2091 - 7y}{2}|$

$|2x - y|$ が最小になるのは、$2091 - 7y \approx 0$ のとき、つまり $y \approx \frac{2091}{7} \approx 298.7$ のときである。

$y$ は $y = 4k + 3$ の形なので、$4k + 3 \approx 298.7$

$4k \approx 295.7$ より $k \approx 73.9$

$k = 73$ のとき $y = 4 \times 73 + 3 = 292 + 3 = 295$。

$x = \frac{2091 - 5 \times 295}{4} = \frac{2091 - 1475}{4} = \frac{616}{4} = 154$。

このとき $|2x - y| = |2 \times 154 - 295| = |308 - 295| = 13$。

$k = 74$ のとき $y = 4 \times 74 + 3 = 296 + 3 = 299$。

$x = \frac{2091 - 5 \times 299}{4} = \frac{2091 - 1495}{4} = \frac{596}{4} = 149$。

このとき $|2x - y| = |2 \times 149 - 299| = |298 - 299| = 1$。

したがって、$|2x - y|$ が最小となるのは $(x, y) = (149, 299)$ のときである。

3. 最終的な答え

$4x + 5y = 2091$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組は 104 通り。

$|2x - y|$ が最小となる組は $(x, y) = (149, 299)$ である。