(1) と (2) の行列式を因数分解する問題です。 (1) の行列式は $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} $ (2) の行列式は $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

(1) と (2) の行列式を因数分解する問題です。

(1) の行列式は

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

a & b & c \\

a^3 & b^3 & c^3

\end{vmatrix}

$$

(2) の行列式は

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

a & b & c & d \\

a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\

a^3 & b^3 & c^3 & d^3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1) の解き方

まず、行列式の性質を利用して、1行目の 1 を利用して他の列の 1 を 0 にします。

第2列から第1列を引き、第3列から第1列を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 \\

a & b-a & c-a \\

a^3 & b^3-a^3 & c^3-a^3

\end{vmatrix}

$$

この行列式は次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

b-a & c-a \\

b^3-a^3 & c^3-a^3

\end{vmatrix}

$$

ここで、$b^3 - a^3 = (b-a)(b^2 + ab + a^2)$ と $c^3 - a^3 = (c-a)(c^2 + ac + a^2)$ を利用します。

$$

(b-a)(c-a)

\begin{vmatrix}

1 & 1 \\

b^2+ab+a^2 & c^2+ac+a^2

\end{vmatrix}

$$

$$

(b-a)(c-a)(c^2+ac+a^2 - (b^2+ab+a^2))

$$

$$

(b-a)(c-a)(c^2-b^2+ac-ab)

$$

$$

(b-a)(c-a)((c-b)(c+b)+a(c-b))

$$

$$

(b-a)(c-a)(c-b)(c+b+a)

$$

$$

-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

$$

(2) の解き方

(1)と同様に、まず1行目の 1 を利用して他の列の 1 を 0 にします。第2列から第1列を引き、第3列から第1列を引き、第4列から第1列を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

a & b-a & c-a & d-a \\

a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 & d^2-a^2 \\

a^3 & b^3-a^3 & c^3-a^3 & d^3-a^3

\end{vmatrix}

$$

この行列式は次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

b-a & c-a & d-a \\

b^2-a^2 & c^2-a^2 & d^2-a^2 \\

b^3-a^3 & c^3-a^3 & d^3-a^3

\end{vmatrix}

$$

ここで、$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$、$b^3 - a^3 = (b-a)(b^2 + ab + a^2)$ などを利用して、各列からそれぞれ $(b-a)$、$(c-a)$、$(d-a)$ を括り出します。

$$

(b-a)(c-a)(d-a)

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

b+a & c+a & d+a \\

b^2+ab+a^2 & c^2+ac+a^2 & d^2+ad+a^2

\end{vmatrix}

$$

次に、第2列から第1列を引き、第3列から第1列を引きます。

$$

(b-a)(c-a)(d-a)

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 \\

b+a & c-b & d-b \\

b^2+ab+a^2 & c^2-b^2+ac-ab & d^2-b^2+ad-ab

\end{vmatrix}

$$

$$

(b-a)(c-a)(d-a)

\begin{vmatrix}

c-b & d-b \\

c^2-b^2+ac-ab & d^2-b^2+ad-ab

\end{vmatrix}

$$

ここで、$c^2 - b^2 + ac - ab = (c-b)(c+b+a)$、$d^2 - b^2 + ad - ab = (d-b)(d+b+a)$を利用して、各列からそれぞれ $(c-b)$、$(d-b)$ を括り出します。

$$

(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)

\begin{vmatrix}

1 & 1 \\

c+b+a & d+b+a

\end{vmatrix}

$$

$$

(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d+b+a-c-b-a)

$$

$$

(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

$$

$$

(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)

$$

3. 最終的な答え

(1)

$$

-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

$$

(2)

$$

(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)

$$

あるいは

$$

(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

$$