与えられた行列式の値を求めよ。行列式は以下の通り。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix} $代数学行列式ヴァンデルモンド行列式2025/6/171. 問題の内容与えられた行列式の値を求めよ。行列式は以下の通り。∣1111abcda2b2c2d2a3b3c3d3∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix} 1aa2a31bb2b31cc2c31dd2d32. 解き方の手順この行列式は、ヴァンデルモンドの行列式と呼ばれる特殊な形をしています。一般に、ヴァンデルモンドの行列式は次のように定義されます。∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣=∏1≤i<j≤n(xj−xi) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) 1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋱⋯1xnxn2⋮xnn−1=∏1≤i<j≤n(xj−xi)今回の場合は、x1=ax_1 = ax1=a, x2=bx_2 = bx2=b, x3=cx_3 = cx3=c, x4=dx_4 = dx4=d であり、n=4n = 4n=4 です。したがって、行列式の値は次のようになります。(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c) (b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b)(d - c) (b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c)3. 最終的な答え(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c)(b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b)(d - c)(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c)
