2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ に関する以下の問題を解く。ただし、$a$ は正の定数とする。 (1) $a=2$ のとき、頂点の座標を求めよ。 (2) 2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ の最小値を求めよ。 (3) $0 \le x \le 1$ における $y$ の最小値が $-\frac{3}{4}$ となるときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ に関する以下の問題を解く。ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) $a=2$ のとき、頂点の座標を求めよ。

(2) 2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ の最小値を求めよ。

(3) $0 \le x \le 1$ における $y$ の最小値が $-\frac{3}{4}$ となるときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a=2$ のとき、$y = x^2 - 4x + 2$ となる。

平方完成を行う。

$y = (x^2 - 4x) + 2 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 2 = (x - 2)^2 - 2$

よって、頂点の座標は $(2, -2)$ となる。

(2) $y = x^2 - 2ax + a$ を平方完成する。

$y = (x^2 - 2ax) + a = (x^2 - 2ax + a^2) - a^2 + a = (x - a)^2 - a^2 + a$

よって、頂点の座標は $(a, -a^2 + a)$ となる。

下に凸の放物線なので、最小値は頂点の $y$ 座標 $-a^2 + a$ となる。

(3) $y = (x-a)^2 - a^2 + a$

$0 \le x \le 1$ における最小値を考える。軸は $x=a$ である。

(i) $0 < a < 1$ のとき、最小値は $x=a$ のときで、$-a^2 + a = -\frac{3}{4}$

$a^2 - a - \frac{3}{4} = 0$

$4a^2 - 4a - 3 = 0$

$(2a + 1)(2a - 3) = 0$

$a = -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$a > 0$ より $a = \frac{3}{2}$ となるが、$0 < a < 1$ を満たさないので不適。

(ii) $a \le 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 1$ で $x=0$ で最小値をとる。

$y(0) = 0^2 - 2a(0) + a = a = -\frac{3}{4}$

しかし、$a > 0$ より不適。

(iii) $a \ge 1$ のとき、区間 $0 \le x \le 1$ で $x=1$ で最小値をとる。

$y(1) = 1^2 - 2a(1) + a = 1 - 2a + a = 1 - a = -\frac{3}{4}$

$a = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$a \ge 1$ を満たすので、$a = \frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は $(2, -2)$

(2) 最小値は $-a^2 + a$

(3) $a = \frac{7}{4}$