2次方程式 $x^2 - (k+6)x + 2k + 12 = 0$ が、3より大きい2つの解（重解を含む）を持つような実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (k+6)x + 2k + 12 = 0$ が、3より大きい2つの解（重解を含む）を持つような実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - (k+6)x + 2k + 12 = 0$ とおきます。

この方程式が3より大きい2つの解を持つ条件は以下の3つです。

(1) 判別式 $D \ge 0$ (重解を含むため)

(2) 軸 $> 3$

(3) $f(3) \ge 0$

(1) 判別式について:

$D = (k+6)^2 - 4(2k+12) = k^2 + 12k + 36 - 8k - 48 = k^2 + 4k - 12 = (k+6)(k-2) \ge 0$

よって、$k \le -6$ または $k \ge 2$

(2) 軸について:

軸は $x = \frac{k+6}{2}$ であるので、

$\frac{k+6}{2} > 3$

$k+6 > 6$

$k > 0$

(3) $f(3)$ について:

$f(3) = 3^2 - (k+6) \cdot 3 + 2k + 12 = 9 - 3k - 18 + 2k + 12 = 3 - k \ge 0$

よって、$k \le 3$

(1), (2), (3) の条件を全て満たす $k$ の範囲を求めます。

(1) より、$k \le -6$ または $k \ge 2$

(2) より、$k > 0$

(3) より、$k \le 3$

数直線を書いて考えると、$2 \le k \le 3$ が求める範囲になります。

3. 最終的な答え

$2 \le k \le 3$