$x$の2次方程式 $x^2 + 2kx + 2k^2 + k - 1 = 0$ が正の解と負の解を一つずつ持つような実数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$の2次方程式 $x^2 + 2kx + 2k^2 + k - 1 = 0$ が正の解と負の解を一つずつ持つような実数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が正の解と負の解を持つための条件は、$ac < 0$ である。

なぜなら、解と係数の関係より、2つの解の積は $\frac{c}{a}$ である。

正の解と負の解を持つということは、解の積が負であるということなので、$\frac{c}{a} < 0$となる。

今、$a = 1$ なので、$c < 0$ となる。

本問題では、$x^2 + 2kx + 2k^2 + k - 1 = 0$ なので、$a = 1$, $b = 2k$, $c = 2k^2 + k - 1$ である。

正の解と負の解を持つ条件は、$2k^2 + k - 1 < 0$ である。

この不等式を解く。

$2k^2 + k - 1 = (2k-1)(k+1)$ であるから、

$(2k-1)(k+1) < 0$ となる。

したがって、 $-1 < k < \frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$-1 < k < \frac{1}{2}$