与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + (2y-1)x + y(y-1)$ (2) $x^2 - 2xy + y^2 + x - y - 2$ (3) $x^4 + 9x^2 + 81$ (4) $x^4 - 27x^2y^2 + y^4$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + (2y-1)x + y(y-1)$

(2) $x^2 - 2xy + y^2 + x - y - 2$

(3) $x^4 + 9x^2 + 81$

(4) $x^4 - 27x^2y^2 + y^4$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + (2y-1)x + y(y-1)$ を因数分解します。

定数項は $y(y-1)$ なので、$y$ と $y-1$ を足すと $2y-1$ になります。

したがって、$x^2 + (2y-1)x + y(y-1) = (x+y)(x+y-1)$

(2)

$x^2 - 2xy + y^2 + x - y - 2$ を因数分解します。

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$ なので、与式は $(x-y)^2 + (x-y) - 2$ となります。

$x-y = A$ と置くと、$A^2 + A - 2$ となります。

これは $(A+2)(A-1)$ と因数分解できます。

したがって、$A$ を元に戻すと $(x-y+2)(x-y-1)$ となります。

(3)

$x^4 + 9x^2 + 81$ を因数分解します。

$x^4 + 18x^2 + 81 - 9x^2$ と変形します。

$(x^2 + 9)^2 - (3x)^2$ となります。

これは $(x^2 + 9 + 3x)(x^2 + 9 - 3x)$ と因数分解できます。

整理すると $(x^2 + 3x + 9)(x^2 - 3x + 9)$ となります。

(4)

$x^4 - 27x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 29x^2y^2$ と変形します。

$(x^2 + y^2)^2 - ( \sqrt{29}xy )^2$ となります。

これは $(x^2 + y^2 + \sqrt{29}xy)(x^2 + y^2 - \sqrt{29}xy)$ と因数分解できます。

しかし、係数が整数ではないので、別の方法を試します。

$x^4 - 27x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 29x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (\sqrt{29}xy)^2$

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 25x^2y^2 = (x^2-y^2)^2 - (5xy)^2 = (x^2 - 5xy - y^2)(x^2 + 5xy - y^2)$

したがって、$(x^2 + 5xy - y^2)(x^2 - 5xy - y^2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x+y)(x+y-1)$

(2) $(x-y+2)(x-y-1)$

(3) $(x^2 + 3x + 9)(x^2 - 3x + 9)$

(4) $(x^2 + 5xy - y^2)(x^2 - 5xy - y^2)$