第6項が177、第15項が114である等差数列 $\{a_n\}$ があるとき、この数列の値が初めて負の数となるのは第何項かを求める問題です。

1. 問題の内容

第6項が177、第15項が114である等差数列 $\{a_n\}$ があるとき、この数列の値が初めて負の数となるのは第何項かを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおきます。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、第6項が177、第15項が114なので、以下の2つの式が成り立ちます。

$a + 5d = 177$

$a + 14d = 114$

これらの連立方程式を解いて、$a$ と $d$ を求めます。

下の式から上の式を引くと、

$9d = 114 - 177 = -63$

$d = -7$

これを最初の式に代入すると、

$a + 5(-7) = 177$

$a - 35 = 177$

$a = 212$

したがって、等差数列の一般項は $a_n = 212 + (n-1)(-7)$ となります。

$a_n = 212 - 7n + 7 = 219 - 7n$

初めて負の数になる項を求めるので、$a_n < 0$ となる $n$ の最小の整数を求めます。

$219 - 7n < 0$

$219 < 7n$

$n > \frac{219}{7} \approx 31.28$

$n$ は整数なので、$n$ の最小値は32です。

3. 最終的な答え

32