第6項が143、第15項が44である等差数列$\{a_n\}$があるとき、この数列の値が初めて-100より小さくなるのは第何項か求める問題です。

1. 問題の内容

第6項が143、第15項が44である等差数列$\{a_n\}$があるとき、この数列の値が初めて-100より小さくなるのは第何項か求める問題です。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とします。

ここで、$a$は初項、$d$は公差です。

問題文より、

$a_6 = a + 5d = 143$

$a_{15} = a + 14d = 44$

2つの式を引き算して、$a$を消去します。

$(a + 14d) - (a + 5d) = 44 - 143$

$9d = -99$

$d = -11$

求めた$d$の値を $a + 5d = 143$ に代入して、$a$を求めます。

$a + 5(-11) = 143$

$a - 55 = 143$

$a = 198$

したがって、等差数列の一般項は $a_n = 198 + (n-1)(-11)$ です。

$a_n = 198 - 11(n-1)$

$a_n = 198 - 11n + 11$

$a_n = 209 - 11n$

$a_n < -100$ となる $n$ を求めます。

$209 - 11n < -100$

$-11n < -309$

$11n > 309$

$n > \frac{309}{11}$

$n > 28.0909...$

$n$は整数なので、$n = 29$が条件を満たす最小の整数となります。

3. 最終的な答え

第29項